Kula wpisana w stozek ma pole powierzchni 2 razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kata nachylenia tworzącej tego stozka do jego podstawy.

l= sqrt{h^{2}+r^{2}} frac{R}{h-R} = frac{1}{ sqrt{1+ (frac{h}{r})^{2} } } (1) r^{2}+rl=8R^{2} (2) z (1) wyznaczamy R: R= frac{h}{1+ sqrt{1+ (frac{h}{r})^{2} } } i podstawiamy do (2): r^{2}(1+ frac{l}{r})=8 frac{h^{2}}{(1+ sqrt{1+( frac{h}{r})^{2} })^{2} } (1+ sqrt{1+ ( frac{h}{r})^{2} } } )^{3}=8 (frac{h}{r}) ^{2} t=1+ sqrt{1+ ( frac{h}{r})^{2} } } (t-1)^{2}-1= (frac{h}{r})^{2} t^{3}=8((t-1)^{2}-1) t^{3}=8(t^{2}-2t) t^{2}=8t-16 (t-4)^{2}=0 t=4 1+ sqrt{1+ ( frac{h}{r})^{2} } }=4 frac{h}{r}=2 sqrt{2} frac{h}{r}=tgalpha tgalpha = 2 sqrt{2} tgalpha = sqrt{ frac{1}{cos^{2}alpha} -1 } cosalpha= frac{1}{ sqrt{tg^{2}+1} } = frac{1}{ sqrt{8+1} } cosalpha = frac{1}{3}