a₁, a₂, a₃ wyrazy ciągu geometrycznego
z wł. ciagu geometrycznego mamy:
a₂ = a₁ *q
a₃ = a₁ *q²
z warunków zadania:
a₁ +a₂ + a₃ = 62
a₁ +a₂ + a₃ = 1000
Podstawiając: a₂ = a₁ *q i a₃ = a₁ *q² mamy:
a₁ + (a₁ *q) + (a₁ *q²) = 62
a₁ *(a₁ *q) * (a₁ *q²) = 1000
rozw. układ równań:
a₁ + a₁ *q + a₁ *q² = 62
a₁ *a₁ *q * a₁ *q² = 1000
a₁(1 + q + q²) = 62
a₁³q³ = 1000 (z obu stron wyciągam ∛)
a₁(1 + q + q²) = 62
a₁q = 10 /:q
a₁(1 + q + q²) = 62
a₁ = 10/q podstawiam do 1 równania:
10/q(1 + q + q²) = 62 /*q ( obie strony mnożę przez q
10(1 + q + q²) = 62q
10 + 10q + 10q² = 62q
10 + 10q + 10q² - 62q = 0
10q² -52q + 10 =0 /2
5q² - 26q + 5 = 0
rozw. równanie kwadratowe:
a=5, b=-26,c=5
Δ=(b²-4ac)
q₁= (-b - √Δ)/2a
q₂=(-b +√Δ)/2a
Δ=(-26)² - 4*5*5=676 - 100= 576
√Δ = 24
q₁ = (26 - 24)/10 = 2/10 = 1/5
q₂ = (26 +24) /10 = 50/10 = 5
pamiętamy, że
a₁=10/q
a₂ = a₁ *q
a₃ = a₁ *q²
i wstawiając obliczone q, mamy:
a₁ = 10÷(1/5) = 10*(5/1)=50 dla q=1/5
lub
a₁=10/5 = 2 ( dla q=5)
a₂ = 50*1/5 = 10 (dla a₁=50 i q = 1/5)
lub
a₂ = 2*5=10 (dla a₁=2 i q = 5)
a₃ =50*1/25= 2 (dla a₁=50 i q = 1/5)
lub
a₃=2*25 = 50 (dla a₁=2 i q = 5)
trzy wyrazy ciągu to: 2,10,50 lub 50,10,2
Wzór ogólny ciągu geometrycznego : <...> indeks dolny
a
