/ - kreska ułamkowa a) 1/(x+1) +2/(x+3) > 3/(x+2) wspólny mianownik ułamków to:(x+1) (x+3) (x+2) (1(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2))/(x+1)(x+3)(x+2)> 3((x+1)(x+3))/(x+1)(x+3)(x+2) wymnażając poszczególne elementy mamy: (x²+5x +6+2x²+6x+4)/(x+1)(x+3)(x+2) >(3x²+12x+9)/(x+1)(x+3)(x+2) (3x²+11x + 10)/(x+1)(x+3)(x+2) -(3x²+12x+9)/(x+1)(x+3)(x+2) > 0 (3x²+11x + 10 -(3x²+12x+9)) /(x+1)(x+3)(x+2) > 0 (3x²+11x + 10 -3x²-12x-9) / (x+1)(x+3)(x+2) > 0 (-x +1) / (x+1)(x+3)(x+2) > 0 Iloraz (dzielenie) dwóch liczb jest >0, gdy obie mają takie same znaki czyli -x+1>0 i (x+1)(x+3)(x+2)>0 lub -x+1<0 i (x+1)(x+3)(x+2) <0 x<1 i x∈(1,2)∨(3,+∞) lub x>1 i x∈(- ∞,1)∨(2,3) x∈Ф lub x∈(2,3) Odp. x∈(2,3) 2/(x-1) - 1/(x+1) > 3 wspólny mianownik, to (x-1)(x+1)=x² - 1² = x²-1 (2(x+1) - (x-1) -3(x+1)(x-1)) / (x+1)(x-1) >0 (2x+2-x+1-3(x² -1)) / (x+1)(x-1) >0 (3x +3 -3x² +3) / (x+1)(x-1) >0 (3x² +3x +6) / (x+1)(x-1) >0 3(x² + x + 2) / (x+1)(x-1) >0 x² + x + 2=0 a=1, b=1,c=2 Δ=b²-4ac Δ=1²- 4*1*2=1-8=-7 równanie nie ma pierwiastków, przyjmuje zawsze wartości dodatnie (>0), czyli musimy rozpatrzyć tylko mianownik. (x+1)(x-1)>0,gdy x+1>0 i (x-1)>0 lub x+1<0 i (x-1)<0 x>-1 i x>1 lub x<-1 i x<1 x∈(1, ∞) lub x∈(- ∞,-1) odp.x∈Ф (1+x)/(1+2x) <(1-2x)/(x+1) -1 wspólny mianownik (1+2x)(x+1) ((1+x)(1+x)-(1-2x)(1-2x) -(1+2x)(1+x)) /(1+2x)(x+1)<0 Po wymnożeniu i redukcji wyrazów podobnych mamy: (5x²-3x-1)/(1+2x)(x+1)<0 analogicznie jak w poprzednich przykładach musimy rozpatrzyć kiedy licznik i mianownik maja różne znaki. 3/(x+5)≥1/x - 1 wspólny mianownik: (x+5)x (3x - (x+5) +(x+5)x)/(x+5)x≥0 (3x - x - 5 + x² +5x)/ (x+5)x≥0 (x² -7x -5) /(x+5)x ≥ 0 itd.
