W trójkąt równoboczny wpisano okrąg, w ten okrag wpisano kolejny trojkąt równoboczny, a w ten trojkat znowu wpisano okrag.Ile razy promień mniejszego okręgu jest mniejszy od promienia większego okręgu? W rozwiazaniu powinnno wyjść ze 2 razy. :)

W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego wynosi 2/3 wysokości trójkąta, a promień okręgu wpisanego 1/3. Jeśli za wysokość trójkąta weźmiemy x, to: R (promień dużego) = 2/3 x r (promień małego) = 1/3 x Z tego widać, że promień mniejszego jest dwa razy mniejszy od dużego.

Przyjmujemy że bok wynosi "a" Wysokość takiego trójkąta wyraża się zależnością h=a*sqrt(3)/2 Promień okręgu wpisanego w okrąg jest równy r=1/3h a opisanego: R=2/3h Czyli wpisując w pierwszy 3kąt okrąg nasz promień wynosi: (1/3)*a*sqrt(3)/2=a*sqrt(3)/6=r1 Teraz rysujemy 3kąt, czyli będzie: h2=2/3*r1=2/3*a*sqrt(3)/6=2*a*sqrt(3)/18=a*sqrt(3)/9 Teraz wpisujemy okrąg, czyli znów 1/3 wysokości: r2=1/3*a*sqrt(3)/9=a*sqrt(3)/27 Przyrównując duży do małego mamy: a*sqrt(3)/6 : a*sqrt(3)/27 27:6 Pzdr