Liczby x-1,x+8,x-10 tworza ciag geometryczny dla: A.x=3, B.x=2, C.-3, D.-2 A.x=3 B.x=2 C.x=-3 D. x=-2 3-1=2 2-1=1 -3-1=-4 -2-1=-3 3+8=11 2+8=10 -3+8=5 -2+8=6 3-10=-7 2-10=-8 -3-10=-13 -2-10=-12 an=a1*q^n-1 q=6/-1=-2 a1=-3 a2=-3*(-2)^2-1+6 a3=-3*(-2)^3-1=-3*4=-12 Odp.D 2.Suma 5 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,w którym a1=1,q=2,wynosi: s5=1*1-2^5/1-2 s5=1*1-32/-1=31 Odp:32 3.Dany jest ciag geometryczny w ktorym a1=128,q=-1/2.szosty wyraz tego ciagu jest rowny: a1=128,q=-1/2 an=a1*q^n-1 a6=128*(-1/2)^6-1=128*(-1/2)^5=128*(-1/32)=-4
Zad.1 Znajdz cztery liczby, z ktorych pierwsze trzy tworza ciag geometryczny a ostatnie trzy ciag arytmetyczny. Wiedzac, ze suma liczb skrajnych rowna jest 14 a srodkowych 12. odp:a1 + a4= 14 a2 + a3= 12 a3= a1q^2 , a3= a2 + r a1q^2 = a2 + r a1q^2 = a1q + r r= a1q^2 - a1q --------------- a2 + a2 + r = 12 2a2 + r = 12 r= 12 - 2a2 , a2= a1q >>> r= 12 - 2a1q ------------- a1 + a4 = 14 a1 + a2 + 2r = 14 a1 + a2 + 2(12 - 2a1q) = 14 a1 - 3a1q = -10 a1(1 - 3q) = -10 a1= -10/(1-3q) ------------- Podstawienie a1 do rownania a1q + a1q^2 = 12 -10q/(1-3q) - 10q^2/(1-3q) - 12 = 0 -10q -10q^2 -12(1-3q) = 0 -10q^2 + 26q -12 = 0 Delta = 196, sqrt(delta) = 14 q1= 2 q2= 3/5 Odp. Dla q=2 mamy ciag 2, 4 , 8 , 12 , gdzie r=4 dla q= 3/5 ciag 50/4, 30/4 , 18/4 , 6/4 , gdzie r = -3 zad.2 Skonczony ciag arytmetyczny ma 11 wyrazow: pierwszy wyraz jest rowny 24. Pierwszy, piaty i jedenasty wyraz tworza ciag geometryczny. Oblicz sume ciagu arytmetycznego. Odp: oznaczając przez a(n) n-ty wyraz ciągu, i r=a(n+1)-a(n) musimy obliczyć sumę od k=1 do 11: a(k)=suma od k=1 do 11: a(1)+(k-1)*r. r wyznaczamy z warunków zadania korzystając z właściwości ciągu geometrycznego: iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały. a więc: a(5)/a(1)=a(11)/a(5) => a(5)^2=a(1)*a(11) => (24+4*r)^2=24*(24+10*r) => r=3. teraz możemy już obliczyć sumę: suma od k=1 do 11:a(1)+(k-1)*r=11*a(1)+r*(1+2+...+10) korzystamy tutaj ze wzoru: (1+2+...+n)=n(n+1)/2 11*24+3*10*11/2=11*(24+15)=11*39=390+39=429 zad.3 Pomiedzy liczby 2 i 30 wstaw dwie liczby w taki sposob, aby trzy pierwsze utworzyly ciag geometryczny a trzy ostatnie ciag arytmetyczny. Odp: 2 , x , y , 30 2y= x^2 x + 30 = 2y x^2= x + 30 x^2 - x - 30= 0 Delta= 121, Sqrt(del)=11 x1= -5, y1= 12.5 x2= 6, y2= 18 Pierwszy ciag: 2, -5, 12.5, 30 .... q=-5/2, r= 17.5 Drugi ciag: 2, 6, 18, 30 .... q= 3 , r=12
