1) (x+2)³ - 12√2x = x²(x+6) + 20 D: x∈R x³ + 6x² + 12x + 8 - 12√2x - x³ - 6x² - 20 = 0 12(1-√2)x - 12 = 0 x = 1/(1-√2) = -1/(√2-1) = -(√2+1)/(2-1) = -√2-1 Wstawiając wartość x do równania y = (√2-1)x + 1 dostajemy y = (√2-1)(-√2-1) + 1 = -(√2-1)(√2+1) + 1 = -(2-1) + 1 = -1+1 = 0 Tak, rozwiązanie tego równania jest miejscem zerowym danej funkcji. 2) Współczynnik kierunkowy funkcji = tgα = √2/2 y = (√2/2)x + b Wstawiamy za x i y współrzędne punktu: 4 = (√2/2)*2 + b 4 = √2 + b b = 4 - √2 y = (√2/2)x + 4 - √2 y ≥ 0 <=> (√2/2)x + 4 - √2 ≥ 0 <=> (√2/2)x ≥ √2 - 4 <=> x ≥ (√2 - 4)/(√2/2) <=> x ≥ 2 - 4√2 <=> x∈<2 - 4√2;+∞) 3) Prosta zawierająca bok AC przechodzi przez punkty A = (-1,0) i C = (3,-1). Jej równanie: (x-x₁)(y₂-y₁) = (y-y₁)(x₂-x₁) (x+1)(-1-0) = (y-0)[3-(-1)] -x-1 = 4y y = -¼x - ¼ Wysokość trójkąta jest prostopadła do prostej AC, więc współczynnik kierunkowy prostej ją zawierającej a' = -1/a = 4: y = 4x + b Prosta przechodzi przez punkt B = (0,3), więc jej współczynnik b (miejsce przecięcia z osią OY) równa się 3. Zatem y = 4x + 3 4) p²x - 4px = p² - 4(1+x) (p²-4p+4)x = 4 - p² (p-2)²x = (2-p)(2+p) Dla p = 2 równanie jest tożsamościowe (0=0), ma nieskończenie wiele rozwiązań Dla p≠2 równanie ma jedno rozwiązanie, -(p+2)/(p-2) 5) f(x) = |x| - √(9-6x+x²) + 2 = |x| - √(3-x)² + 2 = |x| - |x-3| + 2 f(x) = {[w] [klamrach]} {[-x + x - 3 + 2] [x<0]} v {[x + x - 3 + 2] [0≤x<3]} v {[x - x + 3 + 2] [x≥3]} f(x) = {[-1] [x<0]} v {[2x -1] [0≤x<3]} v {[5] [x≥3]} Funkcja jest rosnąca w przedziale <0;3> i stała w przedziałach (-∞;0> i <3;+∞) 6) a) y = {[0] [x∈<0;5000>]} v {[0,05(x-5000)] [x∈(5000;35000>]} v {[0,1(x-35000)+1500] [x∈(35000;+∞)]} y = {[0] [x∈<0;5000>]} v {[0,05x-250] [x∈(5000;35000>]} v {[0,1x-2000] [x∈(35000;+∞)]} b) 15800 -> 0,05*10800 = 540 45800 -> 4580 - 2000 = 2580 7) y = (k-3x)/4 5x + 6(k-3x)/4 = k+1 y = (k-3x)/4 5x + 1,5k - 4,5x = k+1 y = (k-3x)/4 0,5x = -0,5k + 1 y = (4k-3)/4 = k - ¾ x = -k + 1 x>0 <=> -k + 1 > 0 <=> k<1 y>0 <=> k - ¾ > 0 <=> k>¾ x<0 <=> k>1 y<0 <=> k<¾ x i y mają ten sam znak dla k∈<¾;1>. 8) Funkcja liniowa jest parzysta, gdy jest stała. Funkcja liniowa parzysta przechodząca przez dany punkt to g(x) = -6. Mamy zatem: f(4x+3) + 8x = -6 f(4x+3) = -6 - 8x Przechodząc do postaci funkcji liniowej f (ax + b): a(4x+3) + b = -6 - 8x 4ax + b + 3a = -8x - 6 (tożsamość, "równa się" z trzech kresek) Współczynniki muszą być jednakowe: 4a = -8 b+3a = -6 a = -2 b-6 = -6 a = -2 b = 0 f(x) = -2x Ostatnie zadanko nawet przyjemne ;) Mam nadzieję, że wszystko zrozumiesz, starałem się to robić w miarę jasno, ale bez przesadnego rozpisywania każdego oczywistego kroku. Dla każdego inne rzeczy są oczywiste, więc w razie problemów pisz na priv.
