Jeżeli trójmian x²+ax+b oraz dwumian ax+b mają ten sam niepusty zbiór pierwiastków, to: a) a=0 i b<0 b) a=0 i b=0 c) a≠0 i b=0 d) a≠0 i b<0 e) Jest to niemożliwe. odp. e) a) nie może być, bo kwadratowe ma wtedy 2 rozwiązania x=√-b,x=-√-b, a liniowe sprzeczne b)nie może być, bo kwadratowe ma 1 rozwiązanie x=0, a liniowe nieskończenie wiele rozwiązań , bo 0x=0 c) nie może być, bo kwadratowe ma wtedy 2 rozwiązania x=0,x=-a , a liniowe 1 rozwiązanie x=0 d) nie może być, bo kwadratowe ma wtedy 2 rozwiązania bo Δ>0 , a liniowe 1 rozwiązanie x=-b/a
Trójmian i dwumian będą miały ten sam pierwiastek q, gdy ich wartość dla q będzie taka sama i będzie wynosiła 0. Oba wielomiany różnią się o składnik x², widać zatem, że równe będą tylko wtedy, gdy pierwiastek będzie równy 0. Zbadajmy zatem, kiedy pierwiastkiem danych wielomianów będzie 0: Pierwiastek wyrażenia x² + ax + b jest równy 0, gdy a = 0 i b = 0. Pierwiastek wyrażenia ax + b jest równy 0, gdy a ≠ 0 i b = 0; gdyby a = 0 i b = 0, wyrażenie byłoby nieoznaczone. Ponieważ warunki te nie pokrywają się, taka sytuacja jest niemożliwa.
