Rozłożyć wielomian na czynniki: W(X)=x³+3x²-4x-12= x²(x+3) - 4(x+3) = (x² - 4)(x+3)=(x-2)(x+2) W(X)=x³-3x+2 = (x-1)(x²+x-2)= (x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²((x+2) 7x³+2x²-21x-6>0 7x(x² -3) +2(x²-3)>0 (7x +2)(x²-3)>0 (7x +2)(x+√3)(x -√3) > 0 x∈( -√3, -2/7) U (√3, ∞) x³-5x²+4x<0 x(x² - 5x +4)<0 x(x - 1)(x -4)<0 x∈ (-∞,0) U (1,4)
Rozłożyć wielomian na czynniki: X^2 - ozn. x do potęgi drugiej x^3 - ozn - x do potegi trzeciej W(X)=x3+3x2-4x-12 W(x) = x^3-4x + 3x^2-12 W(x) = x(x^2 -4) - 3( x^2 -4) W(x) = (x^2 -4)( x-3) W(x) = (x-2)(x+2)(x-3) W(X)=x3-3x+2 Sprawdzam czy wielomian jest podzielny bez reszty przez (x-1) tzn. czy pierwiastkiem równania jest x = 1 W(1) = 1^3 -3*1 +2 = 1 -3 +2 = 3 -3 = 0 Wielomian jest podzielny przez (x-1) (x^3 -3x +2 ) : (x-1)= (x^2 +x -2) -x^3 +x^2 ------------ = x^2 -3x +2 -x^2 +x ------------- = -2x + 2 + 2x -2 ------------ = = czyli W(x) = x^3 -3x +2 = (x-1)(x^2+x -2) Obliczam teraz pierwiastki równania drugiego tj. (x^2+x -2) (x^2+x -2) = 0 ∆ = b^2 - 4ac ∆ = 1^2 -4*1*(-2) = 1 + 8 = 9 √∆ = √9 = 3 x1= (-b - √∆):2a x1 = (-1-3): 2*1 = (-4) : 2 = -2 x2 =(-b + √∆):2a x2 = (-1+3): 2*1 = (2) : 2 = 1 wobec tego wielomian zapisujemy: W(x) = x^3 -3x +2 = (x-1)(x-1)(x+2) W(X)=1+6x+12x2+8x3 W(x) =( 1 + 2x)^3 Rozwiązać nierówność a) 7x3+2x2-21x-6>0 7x^3 -21x +2x^2 -6 > 0 7x(x^2 -3) + 2(x^2 -3) > 0 (x^2 -3)( 7x +2) > 0 (x-√3)(x + √3) ( 7x +2 ) > 0 x = √3 lub x = -√3 lub x = -2/7 Zaznaczam na osi Ox pierwistki i ponieważ ogólny współczu=ynnik przy największej potędze jest dodatni więc rysuję krzywa rozpoczynajac od góry nad osiz Ox i przechodzacą przez pierwiastki i zaznaczam przedziały dla których nierówność jest wieksza od zera x należy (- √3, -2/7)u (+√3, + ∞ ) b) x3-5x2+4x<0 x(x^2 -5x+4) < 0 dla wyraznia w nawiasie obliczam pierwiastki x^2 -5x+4 = 0 ∆ = b^2 - 4ac ∆ = (-5)^2 - 4*1*4= 25 - 16 = 9 √∆ = √9 = 3 x1= (-b - √∆):2a x1 = [-(-5 - 3)]:2*1 = (5 -3): 2 = 2 : 2 = 1 x2 =(-b + √∆):2a x2 = [-(-5 + 3)]:2*1 = (5 +3): 2 = 8 : 2 = 4 Wielomian W(x) zapiszemy x3-5x2+4x < 0 x(x^2 -5x+4) < 0 x ( x -1) (x-4) < 0 Zaznaczam na osi Ox pierwistki i ponieważ ogólny współczu=ynnik przy największej potędze jest dodatni więc rysuję krzywa rozpoczynajac od góry nad osiz Ox i przechodzacą przez pierwiastki i zaznaczam przedziały dla których nierówność jest mniejsza od zera x należy (-∞, 0)u(1, 4)
