w okrąg o promieniu r=10cm wpisano trójkąt. Środek okręgu lezy na jednym z boków trójkąta, a stosunek długości pozostałych boków wynosi 3:4. oblicz pole tego trójkąta. Jeżeli środek okręgu leży na jednym z boków trójkąta, czyli jest to trójkąt prostokątny, a średnica tego okręgu będzie przeciwprostokątną tego trójkąta, czyli c=2r c=2*10=20cm a/b=3/4 3b=4a a=3/4 b a²+b²=c² (3/4 b)²+b²=20² 9/16 b²+b²=400 9/16 b²+ 16/16 b²=400 25/16 b²=400 /*16/25 b²=400*16/25 b²=16*16 b²=256 b=16cm a=3/4 b a=3/4 *16 a=3*4 a=12cm P=1/2 a*b P=1/2*12*16 P=6*16 P=96cm²
Tylko i wyłącznie trójkąt prostokątny wpisany w okrąg ma tą właściwość, że jeden z jego boków (i jest to zawsze przeciwprostokątna) przecina środek okręgu opisanego. Tak więc mamy wiedzę, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej 20cm (c=2r) Teraz z wiedzy o bokach i twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wszystkie boki. Załóżmy, że "x" będzie jakąś tam jednostką długości (od tak dla jaj). Jeden bok (z proporcji 3:4) będzie miał długość 3x, a drugi 4x, trzeci jest znany i ma 20cm... a więc lecimy Pitagorasa: c²=a²+b² (20cm)²=(3x)²+(4x)² 400cm²=9x²+16x² 25x²=400cm² |:25 x²=16cm² |√ x=4cm tak więc moja założona jednostka długości to 4cm, a jeden bok skoro ma 3x to ma 12cm, a drugi 16cm... teraz obliczyć pole to pikuś: P=½a*b=½*12cm*16cm=6cm*16cm=96cm²
