zad1 Sprawdz, ktora z podanych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x), a następnie znajdż pozostłe pierwiastki. W(x)=x³+4x²+x-6 1, -2 W(1)=1+4+1-6=0 w(-2)=-8+16-2-6=0 (x²+5x+6)(x-1)=x³+4x²+x-6 Δ=25-24=1 x₁=(-5-1)/2=-3 x₂=(-5+1)/2=-2 (x+3)(x+2)(x-1)=x³+4x²+x-6 Rozwiąż rownanie a) x³-3x²+2x=0 x(x²-3x+2)=0 Δ=9-4*2=9-8=1 x₁=(3-1)/2=1 x₂=(3+1)/2=2 x₃=0 b) x³-x²+9x-9=0 x²(x-1)+9(x-1)=0 (x²+9)(x-1)=0 x-1=0 V x²+9=0 x=1 v x²=-9 sprzeczność c) x₄+3x²-4=0 niech t=x² t²+3t-4=0 Δt=9-4*(-4)=9+16=25 √Δ=5 t₁=(-3-5)/2=-4 t₂=(-3+5)/2=1 -4=x² <- sprzeczność v 1=x² => x=1
W(1)=0 Pierwiastkiem jest 1. 1 4 1 -6 1 5 6 0 W(x)/(x-1)=x²+5x+6 Δ=25-24=1 x₁=-3 x₂=-2 b) 1. x³-3x²+2x=0 x(x²-3x+2)=0 x1=0 Δ=9-8=1 x2=1 x3=2 2. x³-x²+9x-9=0 x²(x-1)+9(x-1)=0 (x²+9)(x-1)=0 x1=1 3. x⁴+3x²-4=0 x²=t>=0 t²+3t-4=0 Δ=25 t1=-4<0 t2=1>0 x²=1 x1=1 x2=-1
W(x)=x³+4x²+x-6 x = 1 W(1) = 1 + 4 + 1 - 6 = 0 liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu W(x)=x³+4x²+x-6 = (x-1)(x²+5x+6)= x²+5x+6 a=1, b=5, c=6 Δ = b²-4ac=25-24=1 x₁=(-b+√Δ)/2a = (-5+1)/2=-4/2=-2 x₂=(-b-√Δ)/2a = (-5-1)/2=-6/2=-3 x²+5x+6=(x+2)(x+3) czyli W(x)=x³+4x²+x-6 = (x-1)(x²+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3) Pierwiaskami tego wielomianu są liczby: 1, -2 i -3 a) x³-3x²+2x=0 x(x² - 3x +2) = 0 x² - 3x +2 = 0 a=1, b=-3, c=2 Δ = b²-4ac = 9 - 8 = 1 x₁=(-b+√Δ)/2a = (3 + 1)/2 = 2 x₂=(-b-√Δ)/2a = (3-1)/2=1 x(x-2)(x-1) = 0 iloczyn liczb jest = 0, gdy jedna z nich jest = 0 czyli x=0 lub x-2=0 lub x-1=0 x³-3x²+2x=0 <=> x=0 lub x=2 lub x=1 b) x³-x²+9x-9=0 x²(x-1)+9(x-1)=0 (x-1)(x²+9)=0 x-1 =0 lub x²+9=0 x³-x²+9x-9=0 <=> x=1 c) x⁴+3x²-4=0 stosuję podstawienie: x² = t t² + 3t -4 =0 a=1, b=3, c=-4 Δ = b²-4ac = 9 +16 = 25 √Δ = √25 = 5 t₁=(-b+√Δ)/2a = (-3+5)/2=1 t₂=(-b-√Δ)/2a = (-3-5)/2=-4 wracając do x: x₁² = 1 <=> x = 1 lub x=-1 x₂² = -4 <=> x∈Ф x⁴+3x²-4=0 <=> x = 1 lub x=-1
