Przyjmijmy, że ciąg(an) jest ciągiem geometrycznym.
a)Znajdź iloraz tego ciągu i a₁₀,jeśli a₁=1 i a₁₁=32.
b)Znajdź iloraz tego ciągu i a₁₀,jeśli a⁹=0,28 i a₁₃=175.
c)Znajdź a₄,jeśli a₁₀=24 i iloraz wynosi q=√2.
d)Znajdź a₁₀,jeśli a₁₃=-1 i a₁₅=-1/9.
Wprowadźmy oznaczenia:
indeks dolny
* mnożenie
^potęga
Korzystamy ze wzoru:
*** a = a₁ * q^(n-1)
a)a₁₀ = ?
a₁=1
a₁₁=32
ze wzoru ***
a₁₁ = a₁ * q¹¹⁻¹ = a₁ * q¹⁰
czyli:
32 = 1 * q¹⁰
q = pierw. 10 st. z 32 = 32 ^1/10 = (32^1/5) ^1/2 = 2^1/2=√2
32 =
a₁₀ = a₁* q⁹ = 1 * (√2)⁹ = 16√2
b)Znajdź iloraz tego ciągu i a₁₀,jeśli a⁹=0,28 i a₁₃=175.
q = ?
a₁₀ = ?
a₉ = 0,28
a₁₃=175
a₉ = a₁ * q⁸
a₁₃ = a₁ * q¹²
0,28 = a₁ * q⁸ /:q⁸
175=a₁ * q¹²
a₁ = 0,28/q⁸
175 = 0,28/q⁸ * q¹²
a₁ = 0,28/q⁸
175 = 0,28* q⁴
q⁴ = 175/0,28
q⁴ = 625
q = 5
a₁₀/a₉ = q (z df. ciągu geometrycznego)
a₁₀/0,28 = 5 /*0,28
a₁₀ = 1,4
Odp. q = 5 , a₁₀ = 1,4
c)Znajdź a₄,jeśli a₁₀=24 i iloraz wynosi q=√2.
a₄ = ?
a₁₀=24
q=√2.
a₄ = a₁ * q³
a₁₀ = a₁ * q⁹
24 = a₁ * (√2)⁹
24 = a₁ * 16√2 /:16√2
a₁ = (3/2) √2
a₄ = (3/2) √2 * √2 = 3√2/2 * √2 = 3
d)Znajdź a₁₀,jeśli a₁₃=-1 i a₁₅=-1/9.
a₁₀ = ?
a₁₃=-1
a₁₅=-1/9
a₁₃ =a₁ * q¹²
a₁₅ =a₁ * q¹⁴
a₁ * q¹² = -1 /:q¹²
a₁ * q¹⁴ = -1/9
a₁ = -1 /q¹²
-1 /q¹² * q¹⁴ = -1/9
-q² = -1/9
q a₁₃ = 1/9
q = 1/3
a₁₀ = a₁₃ : q³
a₁₀ = -1 : (1/3)³= -1 : 1/27 = -1 * 27 = -27
a₁₀ = -27
