A = (-1;-3) B = (1;5) C = (6;4) D = ? AB = AD oraz BC = DC D = (x,y) IAB I² = (1 +1)² + (5+3)² = 2²+8² = 4 + 64 = 68 I AD I² = (x+1)² + (y + 3)² I BC I² = (6-1)² + (4-5)² = 25 + 1 = 26 I DC I = (6 - x)² + (4- y)² x² + 2x +1 + y² + 6y + 9 = 68 36 - 12x +x² + 16 - 8y + y² = 26 x² +2x + y² + 6y = 58 x² -12x + y² - 8y = -26 2x + 12 x + 6y + 8y = 84 14x + 14y = 84 x + y = 6 ---> y = 6 - x x² + 2x + ( 6-x)² + 6*(6 - x) = 58 x² + 2x + 36 - 12x + x² + 36 - 6x = 58 2x² -16x + 72 = 58 2x² - 16x + 14 = 0 x² - 8x + 7 = 0 Δ = 64 - 4*7 = 64 - 28 = 36 √Δ = 6 x1 = [8 -6]/2 = 1 x2 = [8 +6]/2 = 7 y1 = 6 - 1 = 5 y2 = 6 - 7 = -1 D = (1;5) = B - odpada D = (7; -1) Odp. D = ( 7; -1)
Trzy wierzchołki deltoidu ABCD mają współrzędne A=(-1,-3) B=(1,5) C=(6,4). Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka. Deltoid to czworokąt złożony z dwóch trójkątów równoramiennych złączonych podstawami, czyli zakładamy, że jest wypukły. Taki swoisty latawiec... Obliczam długości boków AB=√[(-1-1)²+(-3-5)²=√(4+64)=√68 BC=√[(1-6)²+(5-4)²=√(25+1)=√26 AB≠BC, więc zadanie ma rozwiązanie (gdyby B był wierzchołkiem jednego z trójkątów równoramiennych, to można by było jedynie określić półprostą, na której leżałby 4 wierzchołek deltoidu). AB nie może być przekątną, bo wtedy czworokąt nie byłby wypukły (dobrze jest naszkicować rysunek). Wierzchołek D(x,y) jest położony symetrycznie do punktu B względem przekątnej AC, bo przekątna AC dzieli drugą przekątna BD na połowę i przekątne są do siebie prostopadłe. Zadanie proponuję rozwiązać następująco: 1) wyznaczyć równanie prostej AC 2)wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez B 3) znaleźć punkt przecięcia S 4) wyznaczyć wektor SD równy wektorowi BS, czyli znaleźć D(x,y) 1) y-4=[4-(-3)]/[6-(-1)] * (x-6) y-4=x-6 y=x-2 2) Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do y=ax+b jest równy -1/a u nas: -1 y=-x+b B∈BD, więc 5=-1+b => b=6 Prosta szukana y=-x+6 3) {y=x-2 {y=-x+6 x-2=-x+6 2x=8 x=4 => y=4-2=2 Mamy punkt przecięcia przekątnych S(4; 2) 4) Wektory BS=SD [4-1, 2-5] = [x-4, y-2] x-4=3 => x=7 y-2=-3 => y=-1 D(7; -1) Można punkt D wyznaczyć ze wzoru na środek odcinka BD: (x+1)/2=4 oraz (y+5)/2=2 Odp. D(7; -1)
