Gdyby był problem z załącznikami pisz.
Musimy tylko pamiętać, że log_a b=c jest równoważne a^c=b gdzie od teraz _liczba będę oznaczał podstawę, a x^y będę oznaczał x do potęgi y: 1 a) log_2 √2=x <--> 2^x=√2 x=½ jeśli nie mamy nic w podstawie to znaczy, że tam jest 10: 1 b) log_10 ∛10=x <---> 10^x=∛10 x=⅓ 1 c) log_½ 4=x <--> ½^x=4 x=-2 2 a) log_3 x = -2 3^(-2)=x x=1/9 2 b) log_2 x²=2 2²=x² x²=4 x=2 ub x=-2 2 c) log_x 4=2 x²=4 x=2 lub x=-2 2 d) log_x ¼=-1 x^(-1)=¼ x=4 3 a) log_2 (log_10 100) log_10 100 <--> 10^x=100 x=2 mamy więc: log_2 2 = y <--> 2^y=2 y=1 więc: log_2 (log_10 100)=1 3 b) mamy wzór, który mówi, że: log_x y / log_x z = log_z y i teraz: 5^(log_10 5 / log_10 2,5)= 5^(log_2,5 5) log2,5 5 <--> 2,5^x=5 x wychodzi w zaokrągleniu... a więc lepiej zostawić w tej postaci: 5^(log_2,5 5) 3 c) √(10^[2+½log 16]) 10^(a+b) można zapisać jako: 10^a*10^b i tak też zrobimy: √(10^[2+½log 16])=√(10^2*10^½log 16])=10√(10^½log 16) z wiedzy, że a^log_a b = b^log_a a mamy, że: 10^½log 16 = 16^½log_10 10 = 16^½*1=16^½=4 tak więc: 10√(10^½log 16)=10√4=20 3 d) log_5 9 * log_27 25 zauważmy, że 9=3^2 oraz, że 27=3^3... mamy, z tego że: log_5 9 * log_27 25 = log_5 3^2 * log_3^3 25 teraz na podstawie tego, że log_a^b c = 1/b * log_a c oraz z tego log_a b^c = c* log_a b: 2 * log_5 3 * ⅓ * log_3 25 = ⅔ * (log_5 3 * log_3 25) mamy też wzór na to i wygląda on tak: log_a b * log_b c = log_a c: ⅔ * (log_5 3 * log_3 25) = ⅔ * (log_5 25) = ⅔ * 2 = 1⅓ 4) log_9 20 = (1 + log 2)/(2*log 3) prawa strona: 1=log 10 tak więc: P = (log 10 + log 2)/(2*log 3) = (log 10 + log 2)/(log 3^2) = (log 10*2)/(log 9) = log(20)/log(9) = log_9 20 = L co należało dowieść 5) log_3 4 = a --- nasza prawda log_2 9 --- chcemy obliczyć: tak więc log_2 9 = log_2 3^2 = 2*log_2 3 teraz zastosujmy dziwną sztuczkę, ale patrzmy co się stanie: 2*log_2 3 = 4 * (½*log_2 3) idźmy dalej: 4 * (½*log_2 3) = [(4 * (½*log_2 3))^-1]^-1 = [1/(4 * (½*log_2 3)]^-1 to co w nawiasie kwadratowym można łatwo zapisać jako: 1/a*b = 1/a * 1/b: [1/4 * 1/(½*log_2 3)]^-1 skorzystajmy teraz z tego, że: 1/x*log_y z = log_y^x z: [1/4 * 1/(log_4 3)]^-1 a mamy też wzór, że: 1/log_a b = log_b a: [1/4 * log_3 4]^-1 a przecież od początku wiemy, że log_3 4 = a, tak więc: [1/4 * log_3 4]^-1 = (¼*a)^-1 = 1/¼*a = 4/a tak więc: log_2 9 = 4/a 6 a) log_4 √2 + log_4 x = 2 log_4 (√2*x) = 2 4^2=√2*x 16=√2*x x=16/√2=16√2/2=8√2 6 b) log_2 [log_3 (x-1)]=1 pamiętajmy, że 1 = log_2 2: log_2 [log_3 (x-1)]=log_2 2 musimy teraz porównać tylko części logarytmu: log_3 (x-1)=2 <--> 3^2=(x-1) 9=x-1 x=10 7) log_2 (x-2), log_2 (2x), log_2 (2x²) --- ciąg arytmetyczny pamiętamy, że w ciągu arytmetycznym zachodzi własność: a₁+r=a₂ a₂+r=a₃ rozłóżmy sobie jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu: a₂ = log_2 (2x) = log_2 2 + log_2 x = 1 + log_2 x a₃ = log_2 (2x²) = log_2 2 + log_2 x² = 1 + 2*log_2 x obliczmy teraz "r" ze wzoru: a₂+r=a₃ 1 + log_2 x + r = 1 + 2*log_2 x r = log_2 x a teraz podstawmy "r" do wzoru "a₁+r=a₂" by wyliczyć "x": log_2 (x-2) + log_2 x = log_2 (2x) lox_2 (x*(x-2)) = log_2 (2x) log_2 (x²-2x) = log_2 (2x) x²-2x=2x x²=4x /:x (możemy podzielić na "x" bo od początku wiemy, że x≠0 z podstawienia do początkowych trzech wyrazów): x=4 wyliczmy więc teraz a₁, a₂, a₃ i sprawdźmy czy to naprawdę ciąg dla x=4: log_2 (x-2), log_2 (2x), log_2 (2x²) log_2 (4-2), log_2 (2*4), log_2 (2*4²) log_2 (2), log_2 (8), log_2 (32) 1, 3, 5 tak jest to ciąg i o różnicy r=2 b) by obliczyć dwunasty wyraz ciągu liczymy: a₁+11r=1+11*2=1+22=23 c) by obliczyć sumę 12 początkowych wyrazów liczymy S_n: S_n=(a₁+a_n)/2 * n S_12=(1+23)/2 * 12 S_12=12 *12 S_12=144 i tak o to w łatwy sposób przeszliśmy przez wszystkie zadania :)
