1. Skoro 5 jest pierwiastkiem (rozwiązaniem) tego wielomianu to W(5)=0 odp: C. równa jest 0 2. W(x) = x(x – 3)(x – 4)(5x + 6) x które wyzerują ten wielomian to x:{-6/5, 0, 3, 4} Odp: D. 4 3. Odp. D. 4 4. W(x) = x3 + bx + 9 W(3)=0 3³+3b+9=0 3b=-9-27 3b=-36 b=-12 Odp: B. -12 5. W tym zadaniu musisz podstawić -2 pod x i tam gdzie Ci wyjdzie jakaś liczba inna od 0 to będzie odpowiedź Odp. C. W(x) = x2 + 4, ponieważ W(-2)=8 6. V(x) = 2(x – 3)(x + 4)(x – 5) Pierwiastki: {3, -4, 5} 3*(-4)*5= -60 Odp: B. -60 7. W(x) = -2x³ - 2x² W(-2)= -2*(-8) -2*4= 16-8=8 Odp: C. 8 8. Rozwiązujesz ze wzoru skróconego mnożenia na "kwadrat różnicy" : Odp: A. V(x) = x8 – 4x4 + 4 9. W(0) * W(1) = -4 * 2 = -8 Odp: D. ujemna 10. Z pierwszego nawiasu otrzymujesz x=5/2=2,5 Odp: C. 2,5 11. W tym zadaniu podstawiasz do wszystkich wielomianów podane liczby i ten, w którym wszystkie dadzą wynik 0 jest rozwiązaniem Odp: C. Q(x) = (x4 - 1)(x + 2) 12. Odp: B. 1 13. Wzór skróconego mnożenia na "sumę sześcianów": Odp: C. R(x) = (x + 1)(x2 - x + 1) 14. P(x) = x3(x3 – 2x + 1) – x2(x4 – 2x + 1) P(x) = x⁶ - 2x⁴ + x³ - x⁶ + 2x³ - x² P(x) = -2x⁴ + 2x³ - x² Stopień tego wielomianu wynosi: 6 15. x³=25x x³ - 25x = 0 x(x² - 25) = 0 x(x-5)(x+5) = 0 Odp: x=0 ∨ x=5 ∨ x=-5 16. x²(x + 2) = 2(x + 2) x²(x+2) - 2(x+2) = 0 (x+2)(x²-2) = 0 (x+2)(x-√2)(x+√2) = 0 Odp: x=-2 ∨ x=√2 ∨ x=-√2 17. x³ - 9x² + x – 9 = 0 x²(x-9)+(x-9) = 0 (x²+1)(x-9) = 0 x=9 18. W(x) = x²(x – 8) + 8(x² – 1) W(x)= x³ -8x² +8x² -8 W(x) = x³ - 8 W(x) = (x-2)(x²+2x+4) Odp: x=2 19. W(x) = 4x³ – 12x² – x + 3 W(x) = 4x²(x-3)-(x-3) W(x) = (x-3)(4x²-1) Odp: x=3 ∨ x= -½ ∨ x= ½ 20. Q(x) = 3x³ + bx Q(3) = 0 0 = 3*3³ + 3b 0 = 81 + 3b 3b = -81 b = -27 Q(x) = 3x³ - 27x Q(x) = 3x(x² -9) Q(x) = 3x(x-3)(x+3) Odp: x=0 ∨ x=3 ∨ x=-3 21. W(x) = x⁴ + bx³ + cx² + 1 W(1) = 0 W(-1) = 0 W(1) = 1 +b + c + 1 = 0 W(-1) = 1 - b +c +1 = 0 {c + b = -2 {c - b = -2 2c = -4 c = -2 => b = 0 Odp: c=-2 oraz b=0 22. W(x) = (9x²–8)(2x²–x–10) W(x) = (9x²-8)(x+2)(x-2,5) W(x) = (3x- 3√8)(3x+3√8)(x+2)(x-2,5) 23. W(x) = x⁵ – 9x³ + 8x² – 72 W(x) = x³(x²-9)+8(x²-9) W(x) = (x³+8)(x²-9) W(x) = (x+2)(x²-2x+4)(x-3)(x+3) Odp: x=-2 ∨ x=3 ∨ x=-3 24. F(x) = 2x³ + 6x – 8 G(x) = x³ + 2x – 8 2x³ +6x -8 = x³ + 2x -8 x³ +4x = 0 x(x²+4) = 0 Odp. Dla x=0 wielomiany są sobie równe. 25. P(x) = ax³ + x(2x + 1)² Q(x) = 3x³ + 4x² + x P(x) = ax³ + x(4x² + 4x + 1) = ax³ + 4x³ + 4x² + x Q(x) = 3x³ + 4x² + x P(x) =(4+a)x³+4x² + x / / || widzimy,że 3 = 4+a 3- 4 = a a = -1 Odp. a=-1 26. W(x) = [x(x – c)]² – (xc)² =(x² - xc)² -(xc)² =x⁴ + 2cx³ +(xc)² - (xc)² = x⁴ + 2cx³ V(x) = x⁴ + 10x³ 2cx³= 10x³ c= 5 Odp. c=5 27. 4x⁴ – 9 = 0 (2x²-3)(2x²+3) = 0 (x√2-√3)(x√2+√3)(2x²+3) = 0 Odp: x=√6/2 ∨ x=-√6/2 28. a) W(x) = x³ – 5x² + 3x – 15 W(x) = x²(x-5) + 3(x-5) W(x) = (x-5)(x²+3) W(x)= 0 <=> <=> x-5=0 ∨ x²+3 =0 x=5 x² = -3 (nie możliwe, ponieważ żadna liczba podniesiona do potęgi ² nie da liczby ujemnej) Dlatego jest tylko jeden pierwiastek. b) W(2 - √5) = (2 - √5)³ - 5(2 - √5)² + 3(2 - √5) - 15 W(2 - √5) = (8 - 25√5 +30 -5) - 5(4 - 4√5 +5) + 6 +3√5 - 15 W(2 - √5) = 8 - 25√5 +25 - 20 + 20√5 -25 +6 +3√5 - 15 W(2 - √5) = -21 - 2√5 Odp. Nie jest całkowita. 29. W(x) = x³ – 3x² – 4x + d W(-2) = 0 0 = -8 -12 + 8 +d d = 12 W(x) = x³ – 3x² – 4x + 12 W(x) = x²(x - 3) -4(x - 3) W(x) = (x-3)(x²-4) W(x) = (x-3)(x-2)(x+2) pierwiastki: x={-2, 2, 3} Odp: -2, 2, 3 30. Q(x) = x³ + bx² - 9x + d Q(1) = 8 Q(3) = 0 Q(1) = 1 +b - 9 +d = 8 Q(3) = 27 + 9b -27 +d = 0 {b+d= 16 {9b+d=0 {d=16-b {9b+16-b=0 {d=16-b {8b=-16 {b=-2 {d=16+2=18 Q(x)= x³ -2x² - 9x + 18 Q(x) = x²(x-2) -9(x-2) Q(x) = (x-2)(x²-9) Q(x) = (x-2)(x-3)(x+3) 31. I 4x³ = 49x 4x³-49x= 0 x(4x²-49) = 0 x(2x-7)(2x+7) = 0 x = 0 x=7/2 x=-7/2 => a= -7/2 II x³ + 33 = 3x² + 11x x³ -3x² -11x +33= 0 x²(x-3)-11(x-3)= 0 (x-3)(x²-11) = 0 (x-3)(x-√11)(x+√11) = 0 x=3 x=√11 x=-√11 =>b=√11 przedział (a,b) przedział (-7/2, √11) Liczby całkowite z tego przedziału to: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
