"Układ równań liniowych jest układem Cramera, gdy macierz główna A jest macierzą nieosobliwą, czyli jej wyznacznik (det A) jest różny od zera". ( x + 3y + 3z = px ( 3x + y + 3z = py ( 3x + 3y + z = pz ( x - px + 3y + 3z = 0 ( 3x + y - py + 3z = 0 ( 3x + 3y + z - pz = 0 ( (1 - p)x + 3y + 3z = 0 ( 3x + (1 - p)y + 3z = 0 ( 3x + 3y + (1 - p)z = 0 | 1-p 3 3 | det A = | 3 1-p 3 | = | 3 3 1-p| = (1-p)(1-p)(1-p) + 3*3*3 +3*3*3 - 3*3*(1-p) - (1-p)*3*3 - 3*(1-p)*3 = (1-p)³+ 27 + 27 - 9*(1-p) - 9*(1-p) - 9*(1-p) = 1³ - 3*1²*p + 3*1*p² - p³ + 54 -9 + 9p - 9 + 9p - 9 + 9p = 1 - 3p + 3p² - p³ + 54 - 27 + 27p = - p³ + 3p² + 24p + 28 Musimy więc sprawdzić dla jakich p det A = - p³ + 3p² + 24p + 28 ≠ 0 Rozwiążemy równanie wielomianowe: - p³ + 3p² + 24p + 28 = 0 Rozkładamy wielomian na czynniki, korzystając z tw. Bezouta: liczba r jest pierwiastkiem Wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - r) oraz z tw. o wymiernych pierwiastkach "jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one dzielnikami wyrazu wolnego". - p³ + 3p² + 24p + 28 = 0 ten wielomian ma współczynniki całkowite, więc jeśli ma pierwiastki to są to któreś dzielniki liczby 28, bo 28 to wyraz wolny zb. dzielników to: D₂₈ = {-1, 1, -2, 2, -4, 4, -7, 7, -14, 14, - 28, 28} Więc szukajmy:) - p³ + 3p² + 24p + 28 = 0 W(-1) = 1 + 3 - 24 + 28 = 8 ≠ 0 W(1) = -1 + 3 + 24 + 28 = 54 ≠ 0 W(-2) = 8 + 12 - 48 + 28 = 0 (no i mamy jeden pierwiastek :) p₁ = - 2 Teraz podzielimy dany wielomian przez dwumian (p + 2) (- p³ + 3p² + 24p + 28) : (p + 2) = -p + 5p² + 14 +p³ + 2p² _________ 5p² + 24p + 28 -5p² - 10p _________ 14p + 28 -14p - 28 ________ = = Stąd (- p³ + 3p² + 24p + 28) = 0 (p + 2) (-p + 5p² + 14) = 0 p + 2 = 0 lub -p + 5p² + 14 = 0 p + 2 = 0 p₁ = -2 -p + 5p² + 14 = 0 Δ = 5² - 4 * (-1) * 14 = 25 + 56 = 81 √Δ = √81 = 9 p₂ = -5 - 9 / 2*(-1) = -14/-2 = 7 p₃ = -5 + 9 / 2*(-1) = 4/-2 = -2 det A = - p³ + 3p² + 24p + 28 = 0 dla p₁ = -2 i p₂ = 7 tzn., że det A = - p³ + 3p² + 24p + 28 ≠ 0 dla p ≠ -2 i p ≠ 7, czyli dla p ∈ R {-2, 7}
dla jakich wartosci parametru p podany uklad jest ukladem cramera x + 3y + 3z = px 3x + y + 3z = py 3x + 3y + z = pz układ jest kramerowski, gdy W różne od 0 W-wyznacznik główny układu x-px + 3y + 3z =0 3x + y-py + 3z = 0 3x + 3y + z-pz = 0 W= I1-p 3 3 3 1-p 3 3 3 1-p I =(1-p)³+27+27-9(1-p)-9(1-p)-9(1-p)=1-3p+3p²-p³+54-27+27p= 3p²-p³+28+24p=-p³+3p²+24p+28 -p³+3p²+24p+28≠0 w(-2)=0 (-p³+3p²+24p+28):(p+2)=-p²+5p+14 p³+2p² ---------- 5p²+24p+28 -5p²-10p --------- 14p+28 -14p-28 --------- ==== -p²+5p+14=0 Δ=25+56=81 √Δ=9 p=7, p=-2 układ jest Cramerowski dla p≠-2 i p≠7 p∈R{-2,7}
