13^n - oznacza 13 do potęgi n 13^(k+1) - oznacza 13 do potęgi o wykładniku ( k+1) a) 6 I ( 13^n - 7) Metoda - indukcja matematyczna I. Sprawdzam dla n = 1 13^1 - 7 = 13 - 7 = 6 - jest podzielne przez 6 II. Zakładam, prawdziwość dla liczby k, czyli że 13^k - 7 = 6*t, gdzie t liczba całkowita III.Sprawdzam czy z założenia prawdziwości dla liczby k wynika prawdziwość dla liczby k +1 13^(k+1) - 7 = 13*13^k - 7 = 13*13^k - 91 + 84 = =13*(13^k - 7) + 6*14 = 13*6*t + 6*14 = 6*(13*t + 14) Liczba 13*t +14 jest liczbą naturalną , zatem liczba 13^(k+1) - 7 jest podzielna przez 6. Na podstawie indukcji matematycznej stwierdzamy ,że liczba 13^n - 7 jest podzielna przez 6 ckd. b) 3 I 10^n + 4^n - 2 I. Sprawdzam dla n=1 10^1 + 4^1 -2 = 10 +4 -2 = 12 = 3*4 II.Zakładam prawdziwość dla liczby k, czyli że 10^k + 4^k - 2 = 3*t , gdzie t liczba całkowita III. Sprawdzam czy z założenia prawdziwości dla liczby k wynika prawdziwość dla liczby k+1 10^(k+1) + 4^(k+1) - 2 = 10*10^k + 4*4^k - 2 = =10*10^k + 10*4^k - 20 -10*4^k + 18 + 4*4^k = = 10*(10^k +4^k -2) - 6*4^k +18 = 10*3*t - 3*(2*4^k +6) = = 3*[10*t -2*4^k +6] Liczba 10*t -2*4^k + 6 jest liczbą całkowitą , zatem 10^(k+1) + 4^(k+1) - 2 jest liczbą podzielną przez 3, a więc na podstawie indukcji matematycznej mamy koniec dowodu. c) 9 I 4^n + 15n -1 I. Sprawdzamy dla n =1 4^1 +15*1 -1 = 4+15 -1 = 18 = 9*2 II. zakladam prawdziwość dla liczby k, czyli że 4^n + 15 n - 1 = 9*t III. Sprawdzam czy z założenia prawdziwości dla liczby k wynika prawdziwość dla liczby k+1 4^(k+1) + 15*(k+1) - 1 = 4*4^k + 15k +15 -1 = =4*4^k + 60k -45k -4 + 18 = 4*[4^k +15k -1] - 9*(5k -2) = = 4*9*t - 9*( 5k - 2) = 9*[4*t - 5k +2] Liczba 9*[4*t - 5k +2] jest liczbą całkowitą , zatem liczba 4^(k+1) +15*(k+1) -1 jest podzielna przez 9. Na podstawie indukcji matematycznej stwierdzamy, że liczba 4^n + 15n -1 jest podzielna przez 9. ckd. Powinno być dobrze.
Dowody można przeprowadzić w oparciu o zasadę indukcji (zapis np. 13^n oznacza 13 do n-tej potęgi) a) 6|13^n - 7 1. Sprawdzamy dla n₀ = 1 13¹ - 7 = 13 - 7 = 6 wzór jest prawdziwy, bo 6 | 6 (liczba 6 jest dzielnikiem liczby 6) 2. Założenie indukcyjne: Jeśli k ≥ 1 i n = k to 6 | 13^k - 7, czyli 13^k - 7 = 6 * s; s∈N 3. Teza indukcyjna: Jeśli n = k + 1 to 6 | 13^ (k + 1) - 7 4. Dowód: 13^ (k + 1) - 7 = 13 * 13^k * 13 - 7 = (12 + 1) * 13^k - 7 = 12 * 13^k + 1 * 13^k - 7 = 12 * 13^k + 13^k - 7 = 12 * 13^k + 6 * s = 6 * (2 * 13^k + s) 6 * (2 * 13^k + s) ten iloczyn jest podzielny przez 6, czyli w ten sposób wykazaliśmy, że jeśli dla n = k, 13^n - 7 jest podzielne przez 6 to jest podzielne też przez n = k + 1, więc na mocy zasady indukcji matematycznej dana podzielność zachodzi dla każdej liczby naturalnej n≥ 1 b) 3|10^n + 4^n - 2 1. Sprawdzamy dla n₀ = 1 10¹ + 4¹ + 2 = 10 + 4 - 2 = 12 wzór jest prawdziwy, bo 3 | 12 (liczba 3 jest dzielnikiem liczby 12) 2. Założenie indukcyjne: Jeśli k ≥ 1 i n = k to 3 | 10^k + 4^k - 2, czyli 10^k + 4^k - 2 = 3 * s; s∈N 3. Teza indukcyjna: Jeśli n = k + 1 to 3 | 10^ (k + 1) + 4^(k + 1) - 2 4. Dowód: 10^ (k + 1) + 4^(k + 1) -2 = 10 * 10^k + 4 * 4^k - 2 = 10*10^k + 10 * 4^k - 6 * 4^k - 10 * 2 + 18 = 10*10^k + 10 * 4^k - 10 * 2 - 6 * 4^k + 18 = 10 * (10^k + 4^k - 2) - 6 * 4^k + 18 = 10 * 3 * s - 6 * 4^k + 18 = 3 * (10 * s - 2 * 4^k + 6) 3 * (10 * s - 2 * 4^k + 6) ten iloczyn jest podzielny przez 3, czyli w ten sposób wykazaliśmy, że jeśli dla n = k, 10^n + 4^n - 2 jest podzielne przez 3 to jest podzielne też przez n = k + 1, więc na mocy zasady indukcji matematycznej dana podzielność zachodzi dla każdej liczby naturalnej n≥ 1 c) 9 | 4^n + 15n - 1 1. Sprawdzamy dla n₀ = 1 4¹ + 15 * 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18 wzór jest prawdziwy, bo 9 | 18 (liczba 9 jest dzielnikiem liczby 18) 2. Założenie indukcyjne: Jeśli k ≥ 1 i n = k to 9 | 4^k + 15k - 1, czyli 4^k + 15k - 1 = 9 * s; s∈N 3. Teza indukcyjna: Jeśli n = k + 1 to 9 | 4^ (k + 1) + 15 * (k + 1) - 1 4. Dowód: 4^ (k + 1) + 15 * (k + 1) - 1 = 4 * 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 * 4^k + 15k + 14 = 4 * 4^k + 60k - 45k - 4 + 18 = 4 * 4^k + 60k - 4 - 45k + 18 = 4 *(4^k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4 * 9 * s - 45k - 18 = 9 * (4s - 5k + 2) 9 * (4s - 5k + 2) ten iloczyn jest podzielny przez 9, czyli w ten sposób wykazaliśmy, że jeśli dla n = k, 4^n + 15n - 1 jest podzielne przez 9 to jest podzielne też przez n = k + 1, więc na mocy zasady indukcji matematycznej dana podzielność zachodzi dla każdej liczby naturalnej n≥ 1
