Niech X=Z{0}. Relacja ro zawarta X*X określona wzorem k ro l <=>[k*l>0 i (-1)^(k+l) >0] a) sprawdzić czy ro jest relacją równoważności w zbiorze X. b) jeśli tak opisać klasy abstrakcji [2],[-1] relacji ro. zamiast pisać a ro b, będę pisał znaczek ~, czyli: a ~ b Trzeba sprawdzić 3 warunki: * a~a * a~b <=> b~a * a~b i b~c => a~c * a~a a~a bo a*a>0 (a nie mogło być zerem) oraz (-1)^(a+a) = (-1)^(2a) = ((-1)^2)^a = 1^a = 1 > 0 * a~b <=> b~a To jest oczywiste, bo w definicji [k*l>0 i (-1)^(k+l) >0] literki k i l można zamienić rolami i dostajemy dokładnie taki sam warunek * a~b i b~c => a~c Zakładamy, że a~b i b~c, czyli a*b>0 b*c>0 ponadto b*b>0 Niech X = a*b, Y = b*c, Z = b*b X>0, Y>0, Z>0 X*Y/Z > 0 0 < X*Y/Z = a*b*b*c/(b*b) = a*c, czyli a*c > 0 (-1)^(a+b) > 0 (-1)^(b+c) > 0 i mnożąc stronami (-1)^(a+b+b+c) > 0, ale (-1)^(a+b+b+c) = (-1)^(2b+a+c) = ((-1)^(2b)) * (-1)^(a+c) = (((-1)^2)^b) * (-1)^(a+c) = (1^b) * (-1)^(a+c) = (-1)^(a+c) b) Jakie są klasy tej relacji... Trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie, jakie elementy są ze sobą w relacji? Pierwszy warunek (a*b>0) mówi na, że dwie liczby są w relacji, jeżeli są tego samego znaku... Czyli pierwszy podział klas abstrakcji mamy na liczby ujemne oraz dodatnie.... Drugi warunek ((-1)^(a+b)>0) mówi nam tyle, że liczba a+b musi być parzysta, czyli innymi słowy, że liczby a i b muszą być tej samej parzystości... To daje nam podział na kolejne klasy abstrakcji... liczby parzyste i nieparzyste.... Zatem w ogóle mamy 4 klasy abstrakcji: A = liczby dodatnie parzyste B = liczby dodatnie nieparzyste C = liczby ujemne parzyste D = liczby ujemne nieparzyste Łatwo sprawdzić, że dwie liczby należące do pewnego ze zbiorów A, B, C, D są ze sobą w relacji... pytano o klasy abstrakcji liczb 2 oraz -1 [2] = A - liczby dodatnie parzyste [-1] = D - liczby ujemne nieparzyste
