I sposób - równanie ogólne funkcji kwadratowej, czyli należy znaleźć wzór funkcji y = ax² + bx + c Wierzchołek paraboli ma współrzędne: x = -b/2a y = -Δ/4a = -b²+4ac/4a Δ = b²-4ac Dana parabola ma współrzędne: (3, -7) stąd 1. -b/2a = 3 /*2a -b = 6a /*(-1) b = -6a 2. -b²+4ac/4a = -7 /*4a -b²+4ac = -28a -(-6a)²+4ac + 28a = 0 -36a²+4ac + 28a = 0 Do wykresu funkcji y = ax² + bx + c należy punkt (5, 9) stąd 3. 9 = a(5)² + b*5 + c 25a + 5b + c = 9 (z zależności 1 wstawiamy za b = -6a) 25a + 5(-6a) + c = 9 25a - 30a + c = 9 -5a + c = 9 c = 5a + 9 (wstawiamy za c do zależności 2) 2. -36a²+4ac + 28a = 0 -36a²+4a(5a + 9) + 28a = 0 -36a²+20a² + 36a + 28a = 0 -16a² + 64a = 0 /:(-16) a² - 4a = 0 a(a - 4) = 0 a = 0 i a - 4 = 0 a = 0 i a = 4 a = 0 odrzucamy, bo wtedy otrzymalibyśmy funkcję liniową, czyli a = 4 Wstawiamy do 1 i 3 za a liczbę 4 i obliczamy b i c b = -6a b = -6*4 = -24 c = 5a + 9 c = 5*4 + 9 = 20 + 9 = 29 Wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,-7) przechodząca przez punkt (5,9): y = 4x² - 24x + 29 II sposób - równanie kanoniczne funkcji kwadratowej, czyli wzór funkcji y = a(x- p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka Wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,-7) przechodząca przez punkt (5,9), stąd po wstawieniu do wzoru otrzymujemy: 9 = a(5 - 3)² - 7 9 = a*2² - 7 4a - 7 = 9 4a = 9 + 7 4a = 16 /:4 a = 4 Równanie kanoniczne szukanej funkcji ma postać: y = 4(x - 3)² - 7 Możemy go zapisać w postaci ogólnej y = 4(x² - 6x + 9) - 7 y = 4x² - 24x + 36 - 7 y = 4x² - 24x + 29 Odp. Równanie (wzór) funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,-7) przechodząca przez punkt (5,9) ma postać ogólną: y = 4x² - 24x + 29 i postać kanoniczną: y = 4(x - 3)² - 7
