w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. a - bok podstawy ( trójkąt równoboczny) b = 2a - krawędź boczna ostrosłupa hp= 1/2*a√3 - wysokość trójkąta równobocznego hś - wysokość ściany bocznej ( trójkąta tównoramiennego) H - wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego α - kąt nachylenia ściany bocznej ( wysokośi hś) do płaszczyzny podstawy ( do 1/3hp) sin α = ? sin α = H : hś =? 1. Obliczam wysokość H ostrosłupa z trójkata prostokatnego gdzie: H - przyprostokatna 2/3hp - przyprostokatna b =2a - przeciwprostokatna H² + (2/3hp)² = (2a)² H² + (2/3*1/2*a√3)² = 4a² H² + (1/3*a√3)² = 4a² H² + (1/9*a²*3 )= 4a² H² + 1/3a² = 4a² H² = 4a² -1/3a² H² = 12/3a² - 1/3a² H² = 11/3a² H = √(11/3a²) H = a√(11/3) 2. obliczam wysokość hś ściany bocznej z trójkąta prostokatnego, gdzie: 1/2a - przyprostokatna hś - przyprostokatna b = 2a - przeciwprostokatna (1/2a)² + (hś)² = (2a)² 1/4a² + (hś)² = 4a² (hś)² = 4a² - 1/4a² (hś)² = 16/4a² - 1/4a² (hs)² = 15/4a² hś = √(15/4a²) hs = a√(15/4) 3. Obliczam sin α sin α = H: hś sin α = ( a√(11/3) : (a√(15/4) sinα = √(11/3) : √(15/4) sin α = (√11 : √3) :(√15 : √4) sin α = (√11 : √3)*( √4 :√15) sin α = (√11*√4) : (√3*√15) sinα = ( 2√11 ) : (√3*√3*√5) sin α = ( 2√11 ) : ( 3√5) sin α = (2/3)*√(11/5) sin α = (2/3)*√2,2 sin α ≈ 0,9888
