W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym w podstawie jest trójkąt równoboczny. a) Odcinek x i y należą do wysokości trójkąta równobocznego. Należy zatem najpierw policzyć wysokość; [latex]h= frac{a sqrt{3} }{2} [/latex] Podstawiając a = 6 [latex]h= frac{6 sqrt{3} }{2} =3 sqrt{3} [/latex] Odcinek x to 2/3 wysokości (promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym), a y to 1/3 wysokości (promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny) [latex]x= frac{2}{3}*h= frac{2}{3} *3 sqrt{3} =2 sqrt{3} [/latex] [latex]y= frac{1}{3} *h= frac{1}{3}*3 sqrt{3} = sqrt{3} [/latex] B. H - wysokość ostrosłupa tworzy z bokiem k i długością x trójkąt prostokątny. Nie znamy odcinka x. Korzystając z poprzedniego podpunktu: [latex]h= frac{a sqrt{3} }{2} = frac{3 sqrt{3} }{2} \ x= frac{2}{3} *h = frac{2}{3} * frac{3 sqrt{3} }{2} = sqrt{3} [/latex] [latex]H^2 +x^2=k^2 \ H^2 +( sqrt{3} )^2 =5^2 \ H^2 +3 = 25 \ H^2=22 \ h= sqrt{22} [/latex] C. x=2√3 H=4 c=? Szukany odcinek c jest wysokością ściany bocznej. Aby go policzyć wystarczy zauważyć, że odcinki c, y i H tworzą trójkąt prostokątny. Na początek należy poznać odcinek y. Skoro y = 1/3h, natomiast x to 2/3h wystarczy długość x podzielić na 2 aby otrzymać y. y=x:2=2√3:2=√3 I teraz z tw Pitagorasa w trójkącie prostokątnym H, y, c (√3)²+4²=c² 3+16=c² 19=c² c=√19 D. k=10 H=2√13 a=? Odcinki k, H i x tworzą trójkąt prostokątny o niewiadomej x: H²+x²=k² (2√13)²+x²=10² 52+x²=100 x²=48 x=4√3 Z poprzedniego wiemy, że: x = 2/3 h 4√3 = 2/3 h 4√3 * 3/2 = h 6√3 = h Korzystamy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym: [latex]h= frac{a sqrt{3} }{2} \ 6 sqrt{3} = frac{a sqrt{3} }{2} \ 12 sqrt{3} =a sqrt{3} \ a=12 [/latex]
