a) log₃ (5x-7) = 2 Dziedzina D: 5x - 7 > 0 5x > 7 x > 7/5 x > 1,4 3² = 5x - 7 9 = 5x - 7 16 = 5x x = 16/5 x = 3,2 (należy do D) b) log₂ x + log (mala 2 w indeksie) (x+1) = 1 Dziedzina D: x > 0 i x+1 > 0 x> 0 i x > -1 D: x > 0 (część wspólna) log₂x + log₂(x+1) = 1 suma logarytmów jest równa logarytmowi z iloczynu liczb logarytmowanych log₂x(x+1) = 1 z definicji logarytmu 2 = x(x+1) x² + x - 2 = 0 ∆ = 1 + 8 = 9 x1 = (-1-3):2 = -4 : 2 = -2 x2 = (-1+3):2 = 2:2 = 1 -2 nie należy do dziedziny, nie jest rozwiązaniem 1 należy do dziedziny, jest rozwiązaniem c) log ( 1/2 w indeksie dolnym) (x+5) > 2 D: x+5>0 x>-5 Liczbę 2 zamieniamy na logarytm o podstawie 1/2 z liczby 1/4. (Ponieważ 1/2 do kwadratu jest 1/4.) Pozwolę sobie nie napisać podstawy 1/2 przy logarytmach, ale ty dopisz proszę. log(x+5) > log 0,25 Pozbywamy się znaku logarytmu zmieniając znak nierówności, ponieważ 1/2 < 1. x+5 < 0,25 x < - 4,75 Teraz musimy uwzględnić dziedzinę. Częścią wspólną zbiorów rozwiązań nierówności x > -5 oraz x < - 4,75 jest przedział od -5 do - 4,75. Zatem x należy (-5; -4,75)
a) log₃ (5x - 7) = 2 przy założeniu, że 5x - 7 > 0 5x > 7 x > 7/5 log₃ (5x - 7) = 2 z def. logarytmu 5x - 7 = 3² = 9 5x = 9 + 7 = 16 x = 16/5
a) log₃ (5x-7) = 2 dziedzina: 5x-7>0 ==> x>7/5 log₃ (5x-7) = log₃9 Funkcja f(x)=log₃x jest różnowartościowa, więc 5x-7=9 5x=16 x=16/5 b) log₂ x + log₂ (x+1) = 1 dziedzina: x>0 i x+1>0 czyli x>0 i x>-1 a to oznacza, że musi być x>0 log₂ (x(x+1)) = log₂2 Funkcja f(x)=log₂x jest różnowartościowa, więc x(x+1)=2 x²+x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x=-2 lub x=1 ale x=-2 nie należy do dziedziny, więc zostaje tylko x=1 c) log ( 1/2 w indeksie dolnym) (x+5) > 2 dziedzina: x+5>0 czyli x>-5 log ( 1/2 w indeksie dolnym) (x+5) > log ( 1/2 w indeksie dolnym) (1/4) Funkcja f(x)=log (1/2 w indeksie) x jest malejąca, więc x+5<1/4 x<-5+(1/4)=(-20+1)/4=-19/4 oraz x>-5
