a) sinx + cosx = ¹/√₂ sinx * cosx = - ¼ Obliczenia: korzystamy z wzoru skróconego mnożenia [(a+b)² = a² +2ab +b²] i sin²x + cos²x = 1 (jedynka trygonometryczna) (sinx + cosx)² = sin²x + 2sinx*cosx + cos²x 2sinx*cosx = (sinx + cosx)² - sin²x - cos²x 2sinx*cosx = (sinx + cosx)² - (sin²x + cos²x)/:2 sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x) sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½*1 sinx*cosx = ½( ¹/√₂)² - ½*1 = ¼ - ½ = ¼ - ²/₄ = - ¼ c) sinx + cosx = ¹/√₂ sin³x +cos³x = korzystamy z wzoru skróconego mnożenia [a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²) sin³x +cos³x = (sinx + cosx)(sin²x -sinxcosx + cos²x) sin³x +cos³x = (sinx + cosx)(sin²x + cos²x - sinxcosx) korzystamy (z przykładu a) sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x) sinx*cosx = - ¼ czyli sin³x +cos³x = (sinx + cosx)(sin²x + cos²x - sinxcosx)= ¹/√₂*(1 - ( - ¼)) = ¹/√₂ * ⁵/₄ = ⁵/(₄√₂) = (⁵√²)/₈ d) sinx + cosx = ¹/√₂ sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x = (sin²x + cos²x)² - 2(sinxcosx)² = 1 - 2* (- ¼)² = 1 - ⅛ = ⁷/₈ korzystamy z wzoru skróconego mnożenia (sin²x + cos²x)² = sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x (korzystamy z przykładu a) sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x) sinx*cosx = - ¼ b)sinx + cosx = ¹/√₂ Isinx - cosxI = √(sinx - cosx)² (wyrażenie (sinx-cosx)² pod pierwiastkiem, √a² =IaI) obliczamy (sinx - cosx)² = sin²x - 2sinxcosx + cos²x = sin²x + cos²x - 2sinxcosx = 1 -2*(- ¼) = 1 + ½ = ³/₂ √(sinx - cosx)² = √(³/₂) = (√⁶)/₂ czyli Isinx - cosxI = (√⁶)/₂ (korzystamy z przykładu a) sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x) sinx*cosx = - ¼
