998 = kn+8, k - liczba całkowita niezerowa Ponieważ liczba n mieści się k razy i zostaje jeszcze 8. 133=mn+7, m - liczba całkowita niezerowa (Np. 9 = 2*4+1 - przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1) Układ równań: 998 = kn+8 133 = mn+7 kn = 990 mn = 126 n = 990/k mn = 126, to n = 126/m m(990/k) = 126 (900m)/k = 126 m/k = 126/990 Skracamy nasz ułamek m/k = 126/990 = 7/55 Zatem możemy przyjąć, że m = 7, to n = 126/7 = 18 k = 55, to n = 990/55 = 18 Liczba n jest równa 18, natomiast reszta będzie tworzyła ułamki 8/18 i 7/18. Sprawdzamy wielokrotności m i k: m = 14, to n = 126/14 = 9 k = 110, to n = 990/110 = 9 Liczba n jest równa 9, natomiast reszta będzie tworzyła ułamki 8/9 i 7/9. m = 21, to n = 126/21 = 6 k = 165, to n = 990/165 = 6 Liczba n jest równa 6, natomiast reszta będzie tworzyła ułamki 8/6 i 7/6. Nie jest to możliwe, ponieważ mianownik ułamka (n) musi być większy od licznika. (8 i 7). Dalsze sprawdzanie wielokrotności m i k nie ma sensu, ponieważ dzieląc przez większą liczbę, będziemy otrzymywali mniejsze wyniki. Wobec tego szukana liczba n przyjmuje wartość 9 lub 18.
Ponieważ reszta wynosi 8 lub 7 to ta liczba n musi być większa bądź równa 9 dla naturalnych. 998-8=990 133-7=126, 126 i 990 musi byc podzielna przez ta liczbe wiec rozpisujemy : 126|2 63|3 21|3 7|7 1 Ponieważ 990 nie jest podzielne przez 7 które jest liczbą pierwszą, odpadają nam wyniki np. 14, 21, i inne podzielne przez 7. zostaje nam 2,3,3 najmniejszy ich iloczyn ktory jest wiekszy bądź równy 9 to wlasnie 9, sprawdzamy, 998/9= 110+8reszty, 133/9=14+7reszty, a wiec liczba 9 pasuje :). Inna i jedyna pozostala liczba ktora pasuje jest 2*3*3=18, 998/18= 55+8reszty, i 133/18=7 +7 reszty.
