wyznacz asymptoty poziome i pionowe wykresy funkcji [latex]f(x)= frac{ x^{2} -x-12}{ x^{2} +3x} [/latex]

Asymptoty pionowe przebiegają (w przypadku takiej funkcji) tam, gdzie mamy "dziurę" w dziedzinie. [latex] x^{2} + 3x = 0[/latex] [latex]x(x+3)=0[/latex] więc x=0 lub x=-3 - to będą asymptoty pionowe. Asymptoty poziome wyznaczamy poprzez obliczenie granicy w - i + nieskończoności [latex] lim_{x o -infty} frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 3x} = lim_{x o -infty} frac{1-frac{1}{x}-frac{12}{x^2}}{1+frac{1}{x}}=1[/latex] Gdy liczymy granicę w nieskończonościach przy funkcji wymiernej, najlepiej licznik i mianownik podzielić przez największą potęgę x z mianownika. Wtedy wszystkie x są w mianownikach, więc ułamek a/x dąży w nieskończoności do zera, dlatego zostaje 1/1 = 1 [latex]lim_{x o infty} frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 3x} = lim_{x o infty} frac{1-frac{1}{x}-frac{12}{x^2}}{1+frac{1}{x}}=1[/latex] Obie granice wyszły takie same, mamy więc jedną asymptotę pionową o równaniu y=1 //edit: pomyliłem się, bedzie jedna asymptota pionowa w 0, bo gdy rozłożymy licznik i mianownik na czynniki liniowe, to wtedy (x + 3) się skróci. -3 dalej będzie poza dziedziną, ale nie będzie tu asymptoty

y=x²-x-12 Δ=1+48=49 √Δ=7 x1=(1-7)/2=-3  x2=4 f(x)=(x+3)(x-4)/[x(x+3) D: x≠0 ∧ x≠-3 f(x)=(x-4)/x=1-4/x limes 4/x=0  wiec asymptota pozioma y=1 asymp. pionowa x=0 Patrz zalacznik