Na okręgu (x+2)^+(y-3)^=8 Znajdż taki punkt A,którego odległość od punktu P=(2,7) jest najmniejsza.

Weźmy sobie środek tego okręgu: S(-2,3)... Otóż najkrótsza droga od środka okręgu S do punktu P będzie po prostej łączącej te dwa punkty. Prosta ta wyznaczy przy okazji punkt na okręgu który jest najbliżej punktu P... można to przedstawić tak: http://i49.tinypic.com/w2oora.png Wyznaczmy prostą SP podstawiając pod (x,y) współrzędne punktów: y=ax+b S(-2,3), P(2,7): 3=-2a+b 7=2a+b dodajemy stronami i mamy: 10=2b |:2 b=5 wstawiamy: 7=2a+b 7=2a+5 2a=2 |:2 a=1 tak o to nasza prosta y=ax+b ma równanie: y=x+5 prosta przecina okrąg w dwóch miejscach i je musimy wyznaczyć, a z rysunku odczytamy, które miejsce jest tym poprawnym... liczymy punkty przecięcia: (x+2)²+(y-3)²=8 y=x+5 podstawiamy pod y w pierwszym równaniu "x+5": (x+2)²+(x+5-3)²=8 (x+2)²+(x+2)²=8 2(x+2)²=8 |:2 (x+2)²=4 x²+4x+4=4 x²+4x=0 wyłączamy "x" przed nawias: x(x+4)=0 widzimy, że równanie jest prawdziwe dla x=0 oraz dla x=-4 (co się zgadza idealnie z rysunkiem). To też na rysunku widzimy, że obchodzi nas x=0... trzeba aby y wyliczyć, ale to proste, skoro: y=x+5 y=5 tak więc nasz punkt A ma współrzędne (0,5)