Ruch w różnych układach odniesienia

RYSUNKI W ZAŁĄCZNIKU
1. Układ odniesienia.

Każdy opis ruchu ciał materialnych wymaga uprzedniego wyboru układu odniesienia. Przez wybór układu odniesienia rozurniemy wybór jednego lub kilku ciał, które umownie przyjmujemy za nieruchome i z którymi wiążemy pewien układ współrzędnych, na przykład prostokątny (kartezjański). Tak, więc, chcąc opisać ruch zachodzący na Ziemi, przyjmujemy za ,,ciało odniesienia” powierzchnię Ziemi. Osie OX i OY prostokątnego układu współrzędnych umieszczamy przy tym zazwyczaj w płaszczyźnie horyzontu, zaś oś OZ skierowujemy pionowo. Czasami początek układu współrzędnych wygodnie jest umieścić w środku Ziemi; jedną z osi układu współrzędnych skierowujemy wtedy wzdłuż osi obrotu Ziemi. Do opisu ruchu ciał niebieskich wybiera się układ odniesienia związany ze Słońcem lub też z gwiazdami stałymi.
Ruchem ciał nazywamy zmiany ich położenia względem obranego uprzednio układu odniesienia.

2. Prędkość względna
Zgodnie z prezentowanym tu modelem kierunki w rzeczywistości obiektywnej, które interpretujemy jako wymiary przestrzenne i czasowe zależą od wyboru obserwatora (trajektoria obserwatora to oś czasu układu współrzędnych obserwatora) oraz ciała obserwowanego (wymiary przestrzenne są prostopadłe do trajektorii ciała obserwowanego)

Poniżej – Rysunek 4.1 - przedstawiono osie układu współrzędnych obserwatora (ciało B) obserwującego ciało A. Prędkość zdefiniowana jako V=Δx/Δt jest (w rzeczywistości obiektywnej) sinusem kąta między trajektoriami obserwatora i ciała obserwowanego V=sinφ



Rysunek 4.1 Ciało B – obserwator- mierzy ruch ciała A w swoim układzie współrzędnych. Wybór osi X układu współrzędnych obserwatora zależy od wyboru ciała obserwowanego – oś X jest prostopadła do trajektorii ciała obserwowanego.

Jak widać tak zdefiniowana prędkość jest ograniczona wartością V=1 odpowiadająca trajektoriom wzajemnie prostopadłym. Łatwo się domyśleć, że będzie to jednocześnie prędkość światła – patrz następny rozdział.

Jedną z najistotniejszych różnic między STW a prezentowanym modelem jest fakt, że prędkość nie jest już wielkością fizyczną. Rolę prędkości przejęła trajektoria a konkretnie kąt nachylenia trajektorii. Prędkość jest teraz wyłącznie wartością obserwowaną i nie można jej używać do rozpatrywania zagadnień związanych z ruchem względnym ciał.

Na przykład rozpatrując ruch ciał w STW przy użyciu prędkości wiemy, że ciało nie może osiągnąć prędkości światła. Tymczasem - rozpatrując ten sam problem przy użyciu kątów nachylenia trajektorii dochodzimy do wniosku, że w pewnych warunkach zmiana trajektorii na prostopadłą (co odpowiada przyśpieszeniu cząstki do prędkości światła) może być możliwa. Problemy związane z przyśpieszaniem ciała do prędkości światła przedstawiono dalej.
3. Inercjalny a nieinercjalny układ odniesienia

Układ inercjalny to taki układ odniesienia, który porusza się ze stałą prędkością po linii prostej. Innymi słowy, jego wektor prędkości nie zmienia się. Stałe pozostają jego kierunek, zwrot i wartość.
W każdym układzie inercjalnym prawa fizyki są takie same i zjawiska fizyczne przebiegają w identyczny sposób. Jest to treść fundamentalnej zasady względności. Czyli nie zależą one od konkretnej wartości stałej prędkości układu inercjalnego w taki sposób, by obserwując je można było jednoznacznie wyznaczyć z jaką prędkością się poruszamy, np. v = 5 km/s, v = 70 km/h czy też v = 0 (spoczynek). Zależą w sposób stały, czyli każdej stałej wartości przyporządkowane jest to samo (taki sam przebieg zjawiska). Wynika z tego, że doświadczenia przeprowadzone w obrębie układu inercjalnego nie są w stanie dać nam rozstrzygającej odpowiedzi odnośnie tego czy spoczywamy czy się poruszamy, a jeśli to drugie, to z jaką prędkością.

Spróbujmy więc odnieść się do obserwacji na zewnątrz naszego układu odniesienia. Wyobraźmy sobie dwa statki kosmiczne poruszające się w przestrzeni międzygwiezdnej ze stałymi prędkościami po linii prostej i w przeciwnych kierunkach. Kiedy spojrzymy przez okno statku widzimy, że poruszamy się względem tego drugiego. Ale możliwość interpretacji nie jest tutaj jedna. Może być tak, że widzimy tamtego poruszającego się, bo on się porusza, a my stoimy, lub dlatego, że my się poruszamy, a on stoi. Istnieje nawet trzecia możliwość interpretacyjna: mijając się obydwa statki poruszają się. Sprawa jest beznadziejna. Musielibyśmy odnosić nasz ruch wobec jakiegoś układu, który na pewno jest w spoczynku. Wtedy to wyglądając poza nasz układ i widząc swój spoczynek wobec niego wiedzielibyśmy, że absolutnie spoczywamy (na pewno nasze v = 0). Widząc go w ruchu, a wiedząc że na pewno spoczywa mielibyśmy tylko 1 możliwą interpretację (na pewno my poruszamy się). Problem polega na tym, że taki wyróżniony układ (na pewno i absolutnie spoczywający), do którego moglibyśmy się odnieść nie istnieje. Ze względu na zasadę względności ten układ wyróżniony przez nas sam nie wie z jaką prędkością się porusza i musiałby też odnosić się do zjawisk z zewnątrz, które też nie dałyby mu jednoznacznej odpowiedzi.
Wygląda więc na to, że jedyne, co możemy zrobić to ustalić, umówić się, że dany układ odniesienia absolutnie spoczywa. Mogą być to odległe gwiazdy lub Ziemia. Wtedy to widząc ruch gwiazd względem nas, stwierdzilibyśmy, że jest on pozorny i istnieje dlatego, że my na pewno się poruszamy, a oglądając poruszające się drzewa przez okno jadącego akurat ze stałą prędkością autobusu wyciągnęlibyśmy wniosek, że to niewątpliwie my się poruszamy, bo drzewa na Ziemi są na pewno w spoczynku.
ZAUWAŻMY, że gdyby nie nasza umowa o spoczynku Ziemi nic nie byłoby tu pewne. Musielibyśmy powoływać sędziów: trzecie układy inercjalne. Oto możliwe scenariusze:
· Sędzia 1: układ poruszający się w tym samym kierunku z tą samą prędkością, co nasz autobus. WERDYKT: my spoczywamy
· Sędzia 2: układ poruszający się z tą samą prędkością co Ziemia (zwyczajowo: stojący na poboczu). WERDYKT: my poruszamy się
Jak widać werdykty są sprzeczne. W przypadku ruchu jednostajnego po linii prostej nie można mówić, że ktoś na pewno (bezwzględnie) spoczywa lub na pewno porusza się (pomijamy umowę). Mówi się że jest on względny, czyli zależy od tego kto nasz układ inercjalny obserwuje. My nie potrafimy nic jednoznacznego powiedzieć, ba... nie potrafią powiedzieć tego sędziowie. Sędzia 1 uważa, że względem niego spoczywamy, a sędzia 2 zapewnia o naszym ruchu. Wyobraźmy sobie teraz przebłysk w głowie sędziego 1: „A co jeśli widzę tamten autobus w bezruchu, bo obydwaj poruszamy się dokładnie tak samo?”. Albo przebłysk w głowie sędziego 2: „A co jeśli widzę tamten autobus w ruchu, bo sam się poruszam, a on stoi?” Sędziowie 1 i 2 nie są więc sami pewni czy się poruszają czy pozostają w spoczynku, bo sami podlegają tej samej fizyce układów inercjalnych. I dalsze powoływanie sędziów dla nich samych niczego już tutaj nie zmieni.

Układ nieinercjalny to układ odniesienia, którego wektor prędkości zmienia się, czyli taki, który ma niezerowe przyspieszenie. Wektor prędkości może zmieniać tylko swoją wartość (ruch przyspieszony po linii prostej), tylko kierunek (ruch po okręgu) lub w najogólniejszym przypadku kierunek i wartość (jak na przykład przy parkowaniu samochodu kiedy to skręca się i hamuje).
Charakterystyczną cechą układów inercjalnych jest występowanie w nich sił pozornych. Siła pozorna jest skierowana zawsze przeciwnie do kierunku przyspieszenia (a) układu nieinercjalnego i ma wartość (–ma), gdzie m to masa ciała, na które działa siła pozorna.
Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w autobusie, który hamuje, czyli zmienia wartość swojej prędkości. Siła pozorna zwana siłą bezwładności „wyrzuca” nas wtedy do przodu. Gdy autobus rusza z miejsca jesteśmy wciskani w fotel. Gdy jesteśmy na karuzeli siła odśrodkowa „wyrzuca” nas na zewnątrz. Siła bezwładności i siła odśrodkowa to dwa najważniejsze rodzaje sił pozornych.
Są one bezźródłowe. Zauważmy, że gdy w hamującym autobusie siła wyrzuca nas do przodu, za fotelem, który znajduje się przed nami nie ma żadnego źródła tej siły. Jest to pozór, a wynika z naszej bezwładności. Po prostu każde ciało dąży do zachowania swego stanu kinetycznego, a więc gdy autobus jest hamowany, my „chcemy” dalej poruszać się z prędkością przed hamowaniem i dlatego wpadamy na fotel przed nami. Tak właściwie z nami wszystko jest w porządku. To fotel autobusu robi coś dziwnego, bo zamiast poruszać się tak jak my, hamuje i to właściwie on wpada na nas. Zasada bezwładności to fundamentalna zasada fizyki. Każde ciało samo z siebie podtrzymuje ruch z daną prędkością, bez udziału żadnych sił. Siły są potrzebne by tę prędkość zmienić. Zasady bezwładności nie da się wyprowadzić z bardziej podstawowych zasad, a więc nikt nie wie dlaczego wszystkie ciała są bezwładne i „dążą” do tego by zachować prędkość, z jaką się poruszają. Taka po prostu jest przyroda.
Zauważmy teraz, że będąc wewnątrz układu nieinercjalnego jesteśmy w stanie stwierdzić czy poruszamy się ruchem przyspieszonym czy nie. Jeśli nasz układ ma niezerowe przyspieszenie, to na jego terenie zaobserwujemy działanie sił pozornych. Co więcej, skoro siła pozorna = (-ma), to mierząc ją jesteśmy w stanie wyznaczyć dokładnie wartość tego przyspieszenia. Zasada względności tutaj nie obowiązuje. Zjawiska na terenie naszego układu nieinercjalnego powiedzą nam wszystko. Gdy widzimy, że działa siła pozorna, to na pewno poruszamy się (z przyspieszeniem), czyli na pewno nie jesteśmy w spoczynku.

Wróćmy do przykładu dwóch statków mijających się w przestrzeni kosmicznej.
Jeśli statek widziany przez okno zahamuje, to będzie poruszać się względem nas ruchem przyspieszonym (przyspieszenie ujemne) i podczas tego manewru będzie widział, że my względem niego też hamujemy dokładnie tak jak on. My hamulców nie używaliśmy, więc nie odczujemy sił pozornych. On hamował, więc tylko on stwierdzi, że na pewno on poruszał się ruchem przyspieszonym.
Jeszcze bardziej obrazowo: w przypadku ruchu przyspieszonego jednego ze statków tylko jedna interpretacja będzie możliwa. Mimo że obydwa się mijają i patrząc przez swe okna obydwa widzą przeciwny statek hamujący względem swojego, to kosmonauci na statku, który włączał hamulce, a więc rzeczywiście przyspiesza muszą odrzucić możliwość mówiącą, że to ich statek jest w spoczynku, a ten widziany przez okno (nasz) zahamował, bo to oni odczuwali siły pozorne, a nie my.

Przywołajmy jeszcze na chwilę naszych sędziów. Czy w przypadku układów nieinercjalnych będą mieli więcej do powiedzenia? Okazuje się, że tak. Sędzia przy drodze, widząc hamujący autobus stwierdzi, że to autobus poruszał się ruchem przyspieszonym. Sędzia poruszający się „łeb w łeb” z autobusem i hamujący tak jak autobus będzie widział go w spoczynku, ale... będzie też doznawał działania siły bezwładności. Jaki wniosek więc wyciągnie? Skoro widzę autobus w spoczynku, a sam poruszam się z przyspieszeniem (bo doznaję sił pozornych), to znaczy że autobus też na pewno porusza się ruchem przyspieszonym. W tym przypadku werdykty obydwu sędziów będą zgodne. Autobus na pewno porusza się. Bez względu na to, niezależnie od tego, kto go obserwuje, on się porusza. Mówi się więc, że ruch z przyspieszeniem jest bezwzględny.

4. Przekształcenie Galileusza

Zależności między współrzędnymi przestrzenno-czasowymi dowolnego zdarzenia rozpatrywanego w 2 różnych inercjalnych układach odniesienia K(x, y, z, t) i K'(x', y', z', t') poruszających się względem siebie prostoliniowo i jednostajnie z prędkością v: x = x' + vxt', y = y' + vyt', z = z' + vzt', t = t' (vx, vy, vz — składowe prędkości ruchu układu K' względem układu K); przekształcenia Galileusza są słuszne dla v małych w porównaniu z c (prędkość światła); prawa mechaniki klas. są niezmiennicze względem przekształceń Galileusza.