Najpierw trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie w jakim przekształceniu otrzymujemy Δ przystające i oprócz tego obrazem punktu A będzie ten sam punkt A lub punkt B, a obrazem punktu B będzie punkt B lub punkt A: - symetria osiowa względem prostej AB - symetria osiowa względem symetralnej odcinka AB - symetria środkowa względem środka odcinka AB Teraz możemy szukać współrzędnych obrazu punktu C, czyli punktu symetrycznego do punktu C w podanych symetriach. Teoria: - Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂): (x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁) - Równanie x = a nazywamy równaniem prostej równoległej do osi OY czyli prostopadłej do osi OX, a równanie y = b wyznacza prostą równoległą do osi OX , czyli prostopadłej do osi OY - Współrzędne środka odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂): S = (x₁ + x₂ / 2 ; y₁ + y₂ / 2) 1. Symetria osiowa względem prostej AB A = (-1, 1), B = (7, 1), C = (2, 3) a) wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B (7 + 1)(y - 1) = (1 - 1)(x + 1) 8*(y - 1) = 0*(x + 1) 8y - 8 = 0 8y = 8 /:8 y = 1 Jest to prosta równoległa do osi OX b) wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej y = 1 i przechodzącej przez punkt C x = 2 c) szukamy współrzędnych punktu S₁, w którym proste y = 1 i x = 2 się przecinają S₁ = (2, 1) d) punkt S₁ jest środkiem odcinka CD₁, więc korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka, aby znaleźć współrzędne punktu D₁ = (x, y) 2 + x / 2 = 2 /*2 2 + x = 2*2 2 + x = 4 x = 4 - 2 x = 2 3 + y / 2 = 1 /*2 3 + y = 2 y = 2 - 3 y = - 1 D₁ = (2, -1) 2. Symetria osiowa względem symetralnej odcinka AB A = (-1, 1), B = (7, 1), C = (2, 3) a) wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B (patrz pkt. 1a) y = 1 b) wyznaczamy współrzędne środka S₂ = (x, y) odcinka AB x = -1 + 7 / 2 = 6 / 2 = 3 y = 1 + 1 / 2 = 2 / 2 = 1 S₂ = (3, 1) c) symetralna odcinka to prosta przechodząca przez jego środek i do niego prostopadła, czyli ma równanie: x = 3, a prosta do niej prostopadła przechodząca przez punkt C ma równanie y = 3 Proste te przecinają się w punkcie S₃ = (3, 3), który jest środkiem odcinka CD₂ , więc korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka, aby znaleźć współrzędne punktu D₂ = (x, y) 2 + x / 2 = 3 /*2 2 + x = 6 x = 6 - 2 x = 4 3 + y / 2 = 3 /*2 3 + y = 6 y = 6 - 3 y = 3 D₂ = (4, 3) 3. Symetria środkowa względem środka odcinka AB a) wyznaczamy środek odcinka AB (patrz punkt 2b) : S₂ = (3, 1). Punkt S₂ jest środkiem odcinka CD₃ b) wyznaczamy współrzędne punktu D₃ = (x, y) korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka 2 + x / 2 = 3 /*2 2 + x = 6 x = 6 - 2 x = 4 3 + y / 2 = 1 /*2 3 + y = 2 y = 2 - 3 y = - 1 D₃ = (4, -1) Odp. Punkt może mieć następujące współrzędne: (2, -1), (4, 3) i (4, -1)
