Zad.13. a1 = 5 a3 = -1 r = ? korzystam ze wzoru na środkowy wyraz ciągu 3 wyrazowego a2 = (a1 + a3) :2 a2 = [5 + (-1)] :2 a2 = 4 :2 = 2 a2 = 2 r = a2-a1 r = 2 - 5 r = -3 zad.14. Aby sprawdziść który z ciągów jest geometryczny należy obliczyć iloraz q ,który musi być liczbą Obliczam więc wyraz następny i obliczam iloraz q an= (n +1)² a(n+1) = ( n+1 +1)² = (n+2)² q = [a(n+1)] : (an) q = (n+2)² :(n+1)² q nie jest liczba bo zależy od n ,więc ciąg ten nie jest ciagiem geometrycznym bn = (1/3)do potęgi n b(n +1)= (1/3)do potegi (n+1) q = [b(n+1)] : bn q = [(1/3)do potegi n*1/3] : (1/3) do potegi n q = 1/3 q jest liczbą, więc ciąg bn = (1/3) do potegi n jest geometrycznym ciągiem cn = 5n -3 c(n+1) = 5(n+1) -3 = 5n +5 -3 = 5n +2 q = (5n+2) : (5n-3) q nie jest liczbą , q zależy od n , więc ciag cn = 5n-3 nie jest ciagiem geometrycznym dn = n : (n+1) d(n+1) = (n+1) : ( n+1+1) = (n+1) : ( n +2) q = [(n+1) : ( n +2)] : [n : (n+1)] q = [ n+1) : ( n +2)] * [(n+1) : n] q = (n+1)² : [n(n +2)] q nie jest liczbą ,q zależy od n , więc ciag dn = n : (n+1) nie jest ciagiem geometrycznym Zad.15 a6 = 0 a6 = a1 + 5r = 0 a1 + 5r = 0 a1 = -5r a11 = a1 + 10r a11 = -5r + 10r = 5r S11 = (a1 + a11):2* 11 S11= (-5r + 5r):2 *11 S11 = 0 :2 *11 S11 = 0 (odp. C) Zad.16. Który z ponizszych ciagów jest rosnący Aby zbadać który ciag jest rosnący to należy obliczyc wyraz następny (n+1) i sprawdzić czy r jest dodatnie lub q jest dodatnie A) an = 3/5n +1 a(n+1) = 3/5(n+1) = 3/5n +3/5 + 5/5 = 3/5n + 8/5 r = a(n+1) - an = 3/5n +8/5 -(3/5n +1) = 3/5n + 8/5 -3/5n -1= 8/5 -5/5 = 3/5 r = 3/5 r > 0, to ciąg jest rosnacy B) bn = -7 +2n b(n+1) = -7 +2(n+1) = -7 +2n +2 = 2n -5 r = b(n+1) - bn = 2n-5 -( -7 +2n) = 2n -5 +7 -2n = 2 r =2 r > 0 , to ciąg jest rosnący C) cn = (1/2)do potęgi n c(n+1) = (1/2)[do potęgi( n+1)] = 1/2*1/2( do potegi n) q = [ c(n+1) ] : [ cn] q = 1/2*1/2( do potęgi n) : 1/2( do potęgi n) q = 1/2 q jest ułamkiem więc dla ciągu geometrycznego przy q = 1/2 ciag cn = (1/2) do potegi n jest malejacy D) dn = -4 do potęgi n d(n+1) = -4( do potęgi n+1) = -4*4 do potęgi n q = [d(n+1) ] : (dn) = [-4*4 do potęgi n ] : [-4 do potęgi n] q = 4 ciag geometryczny jest rosnący Zad. 17. Liczby 1, 2a +2 , a + 6 tworzą ciąg arytmetyczny dla : A) a = 0 B) a = 1 C) a = 4 D) a = 3 Korzystam ze wzoru na srodkowy wyraz 3-wyrazowego ciągu arytmetycznego a1= 1 a2 = 2a +2 a3 = a +6 a2 = (a1 + a3):2 (2a+2) = (1 + a + 6) : 2 (2a +2 ) = (7 + a) :2 /*2 2(2a+2) = 7 +a 4a + 4 = 7 +a 4a -a = 7 -4 3a = 3 a = 1 Dla a = 1 ( odp.B) ciąg jest arytmetyczny zad. 18. Liczba dodatnich wyrazów ciagu an = 1 - 1/4n jest równa : A) 2, B) 3, C) 4 , D) 5 an = 1 -1/4n a(n+1) = 1 - 1/4(n +1) = 1 -1/4n -1/4 = 3/4 -1/4n r = a(n+1) - an = 3/4 -1/4n - (1 -1/4n) = 3/4 -1/4n -1 + 1/4n= 3/4 -1 = -1/4 r = -1/4 a1 = 1 - 1/4*1 = 1 - 1/4 = 3/4 a2 = a1 + r = 3/4 + (-1/4) = 3/4 -1/4 = 2/4 = 1/2 a3 = a1 +2r = 3/4 + 2*(-1/4) = 3/4 - 2/4= 1/4 a4 = a1 + 3r = 3/4 + 3*(-1/4) = 3/4 - 3/4 = 0 a5 = a1 + 4r = 3/4 + 4*(-1/4) = 3/4 - 1 = -1/4 i pozostałe wyrazy ciagu sa ujemne, bo r jest ujemne tylko wyrazy a1, a2, a3 są dodatnie, a4 = 0 Zad.19. Piaty wyraz ciagu an = [1-3(do potęgi n)] : [ 1-3] jest równy: A) -121, B) 16, C) 81, D)121 an = [1-3(do potęgi n)] : [ 1-3] a5 = [ 1 - 3⁵] : (-2) a5 = [1 - 243] : (-2) a5 = (-242) :(-2) a5 = 121 ( odp. D) Zad. 20. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an = (n +15) :n. Liczba 1,6 jest wyrazem ciągu(an) o numerze: A) 1, B) 20, C) 25, D)Liczba 1,6 nie jest wyrazem ciągu (an) an = (n +15) :n (n +15) :n = 1,6 /*n≠ 0 n + 15 = 1,6 n n -1,6n = -15 -0,6n = -15 n = (-15) : (-0,6) n = 25 ( odp. C)
