oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a) 6 cm i 3cm b) 6 cm i 2cm

a) Obliczamy długości przeciwprostokątnej stosując TW Pitagorasa: [latex]3^2+6^2=c^2\ 9+36=c^2\ c^2=45\ c=3sqrt5 cm[/latex] Wiemy, że promień okręgu wpisanego w trójkąt możemy wyrazić za pomocą wzoru: [latex]r=frac{2P}{a+b+c},[/latex]       gdzie: a, b, c - to boki trójkąta P - pole trójkąta Obliczamy teraz pole trójkąta: [latex]P=frac{3 cdot 6}{2}=9 cm^2[/latex] Podstawiamy do wzoru na promień: [latex]r=frac{2cdot 9}{3+6+3sqrt5}=frac{18}{9+3sqrt5} cm[/latex] Usuniemy jeszcze niewymierność: [latex]frac{18}{9+3sqrt5} cdot frac{9-3sqrt5}{9-3sqrt5}=frac{18(9-3sqrt5)}{81-45}= frac{18(9-3sqrt5)}{36}=frac{9-3sqrt5}{2} cm[/latex] Odp: Promień koła wynosi [latex]frac{9-3sqrt5}{2} cm[/latex]. b) analogicznie jak przykład a) [latex]6^2+2^2=c^2\ 36+4=c^2\ c=2sqrt{10} cm[/latex] [latex]P=frac{2cdot 6}{2}= 6 cm^2[/latex] [latex]r=frac{2cdot 6}{2+6+2sqrt{10}}=frac{12}{8+2sqrt{10}}=frac{6}{4+sqrt{10}} cm[/latex] [latex]frac{6}{4+sqrt{10}} cdot frac{4-sqrt{10}}{4-sqrt{10}}=frac{6(4-sqrt{10})}{16-10}=frac{6(4-sqrt{10})}{6}= 4-sqrt10[/latex] Odp: Promień okręgu wynosi [latex] 4-sqrt10[/latex].

r=(a+b-c)/2  wzór dla trójkąta prostokątnego a) a=6cm b=3cm c²=a²+b² c²=6²+3²=36+9=45=9*5 c=√(9*5) c=3√5 cm r=(6+3-3√5)/2 r=3(3-√5)/2 cm b) a=6cm b=2cm c²=6²+2²=36+4=40=4*10 c=2√10 cm r=(6+2-2√10)/2 r=2(4-√10)/2 r=(4-√10) cm