Dla jakich wartości parametru m równanie (2m-3)x²+4mx+m-1=0 ma dwa pierwiastki spełniające nierówność x₁+x₂=-mx₁x₂

Po dokonaniu korekty dotyczącej warunku zamiast x₁+x₂= -mx₁x₂ ma być : x₁+x₂> -mx₁x₂ ponownie przesyłam rozwiazanie zadania!!! ---------------------------------------------------------------------------------- Dla jakich wartości parametru m równanie (2m-3)x²+4mx+m-1=0 ma dwa pierwiastki spełniające nierówność x₁+x₂> -mx₁x₂ (2m-3)x²+4mx+m-1=0 Aby istniały 2 pierwiastki równania, to : 1) Δ > 0 2) (2m-3) ≠0 3)x₁+x₂> - mx₁x₂ Wszystkie 3 warunki musza być spełnione Korzystam ze wzorów Viete`a do 3) warunku x1+x2 = - b/a x1*x2 = c/a Rozpatruję 1) warunek Δ > 0 a = (2m-3) b = 4m c = m-1 Δ = b²-4*a*c Δ = (4m)² - 4*(2m-3)*(m-1) > 0 16m² - 4(2m² -5m +3) > 0 16m² - 8m² +20m -12 > 0 8m² +20m -12 > 0 /:4 2m² + 5m -3 > 0 Δ= 5²- 4*2*(-3) = 25 + 24 = 49 √Δ = √49 = 7 m1= (-5-7):(2*2) = (-12): 4 = -3 m2 = (-5 +7) : (2*2) = 2 : 4 = 1/2 Rozwiazanie 1) warunku dla Δ > 0 m ∈( -∞, -3) ∨(1/2, +∞) 2) Rozwiazuje 2 warunek (2m-3) ≠0 2m ≠ 3 m ≠ 3/2 m ≠ 1,5 3) Rozwiazuje 3) warunek stosując wzory Viete`a : x1+x2 = - b/a x1*x2 = c/a x₁+x₂> - mx₁x₂ -b/a > -m( c/a) (- 4m)/(2m-3) > -m(m-1)/ (2m-3) (- 4m)/(2m-3) + m(m-1)/ (2m-3) > 0 (- 4m) + m²-m ) : (2m-3) > 0 (- 4m + m² -m )*(2m-3) > 0 Zamiast dzielenia sosuję mnożenie (m² - 5m)*(2m-3) > 0 m( m-5) ( 2m -3) > 0 m = 0 lub m-5 = 0 lub 2m-3 = 0 m = 0 lub m = 5 lub m = 3/2 teraz po zaznaczeniu pirewiastków na osi ox zaznaczam przedziały dla których nierówność jest > 0 m ∈ (0, 3/2)∨(5 +∞) Rozwiązaniem 3) warunku jest m ∈ (0, 3/2)∨(5 +∞) Teraz wyznaczam wspólną część wszystkich 3 warunków: 1) m ∈( -∞, -3) ∨(1/2, +∞) 2) m ≠ 1,5 3) m ∈ (0, 3/2)∨(5 +∞) Po narysowaniu na osi Ox wszystkich 3 warunków ostatecznym rozwiązaniem jest m ∈ (1/2; 3/2) ∨ (5, +∞) Odp. Dla m m ∈ (1/2; 3/2) ∨ (5, +∞), równanie (2m-3)x²+4mx+m-1=0 ma dwa pierwiastki spełniające nierówność x₁+x₂> - mx₁x₂