Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi27√2 (27 pierwiastków z 2). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 45*. Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa. V = 27√2 - objetość graniastosłupa o podstawie kwadratu α = 45° - kąt nachylenia przekątnej D graniastosłupa do płaszczyzny podstawy( do przekątnej kwadratu) D= √(a²+ a²+H²) - przekątna graniastosłupa d = a√2 - przekątna podstawy ( kwadratu) a - krawędź podstawy H - wysokość graniastosłupa Pp = ? - pole podstawy graniastosłupa ( pole kwadratu o boku a) 1.Obliczam H z trójkata prostokątnego gdzie: H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kąta α = 45° d - Przyprostokątna przyległa do kąta α = 45° D - przeciwprostokątna H : D = sin α H = D *sin45° H = D*1/2*√2 H = 1/2*D*√2 2. Obliczam przekątna d podstawy d : D = cosα d = D*cos45° d = D*1/2√2 d = 1/2*D√2 Z punktu 2 i 3 wynika że H = d d = a√2 H = d = a√2 czyli : H² = (a√2)² H² = a²*2 H² = 2a² 3. Obliczam przekatną D graniastosłupa D = √(a² + a² + H²) D = √(2a² + H²) D = √(2a² + 2a²) D = √(4a²) D = 2a 4. Obliczam V = 27√2 V = a²*H V = a²*H = 27√2 a² *H = 27√2 a² = 27√2 : H a² = 27√2 : (1/2*D√2) a² = 54/D a² = 54 : 2a /*2a 2a³ = 54 /:2 a³ = 27 a³ -27 = 0 Stosuję wzór skróconego mnozenia: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) (a - 3)( a² + 3a + 9) = 0 ( a - 3) = 0 lub ( a² + 3a + 9) = 0 - pomijamy bo wyrażenie to jest zawsze dodatnie dla każdego a ( nigdy nie będzie równe zero) a = 3 5. Obliczam pole podstawy Pp = a² Pp = 3² Pp = 9 Odp. Pole podstawy graniastosłupa wynosi 9 ----------------------------------- Sprawdzam czy V = 27√2 dla : a = 3 H = d = a√2 = 3√2 V = Pp*H V = 3² *3√2 V = 9*3√2 V = 27√2 jest zgodne z trescią zadania
