Rozwiąż równania 1)sin2x+2sinx=1+cosx 2)sin4x=cos2x Za dwa daje najlepszą.

Rozwiąż równania 1)sin2x+2sinx=1+cosx Stosuje wzór sin 2x = 2 sin x *cos x 2sinx* cosx + 2 sinx = 1 + cosx 2 sinx( cosx + 1) = 1 + cos x 2sinx = (1 + cosx ): ( cos x +1) 2 sin x = 1 /:2 sin x = 1/2 Jest to równanie elementarne Nalezy znależć taki kat xo, dla którego sinus ma wartość 1/2 Takim katem jest π/6( 30°) czyli xo = π/6 teraz korzystam z gotowych już wzorów na serie rozwiazań z sinusem. Są nimi: x = xo + 2kπ, k ∈ c lub x = π - xo + 2kπ , k∈ C Znalezioną wartosć xo wstawiam do wzorów na serie rozwiazań x = π/6 + 2kπ lub x = π - π/6 + 2kπ , k ∈ C czyli: x = π/6 + 2kπ lub x = (5/6)π + 2kπ , k ∈ C 2)sin4x=cos2x Korzystam ze wzoru: sin 2x = 2 sinx * cosx oraz analogicznie : sin 4x = 2sin2x *cos2x 2 sin 2x*cos 2x = cos 2x 2 sin 2x*cos 2x - cos 2x = 0 cos 2x ( 2sin2x - 1) = 0 cos 2x = 0 lub 2 sin2x -1 = 0 cos2x = 0 lub 2 sin 2x = 1 /:2 sin2x = 1/2 sa to równania elementarne, które nalezy rozwiazać osobno Najpierw rozwiazuję cos 2x = 0 Szukam takiego kata dla którego cosinus wynosi zero Takim katem jest π/2 ( 90°) 2x = xo + kπ , k ∈ C 2x = π/2 + kπ /:2 x = π/4 + 1/2kπ , k ∈ C Teraz rozwiazuję równanie sin2x = 1/2 Należy znależć taki kat xo, dla którego sinus ma wartość 1/2 Takim katem jest π/6 ( 30°) xo = π/6 Teraz korzystam z gotowych już wzorów na serie rozwiazań z sinusem. Sa nimi: x = xo + 2kπ lub x = π - xo + 2kπ , k ∈ C Znaleziona wartość xo wstawiam do wzorów na serie rozwiązań. 2x = π/6 + 2kπ lub x = π - xo + 2kπ, k ∈ C czyli: 2x = π/6 + 2kπ /:2 lub x = (5/6)π + 2kπ /:2 k ∈ C x = π/12 + kπ lub x = (5/12)π + kπ , k ∈ C Rozwiazaniem równania są: x = π/4 + 1/2kπ , k ∈ C lub x = π/12 + kπ , k ∈ C lub x = (5/12)π + kπ , k ∈ C