Zauważmy, że [latex]1dm^3=1ell[/latex]. Długość [latex]2x[/latex], szerokość [latex]x[/latex], wysokość [latex]x[/latex]. Jednak wody nalano do wysokości [latex]x-0,5[/latex], stąd też taką wysokość uwzględniamy w obliczeniach. Wszystkie wymiary są w [latex]dm.[/latex] Aby nasze zapisy miały sens należy założyć, że [latex]x in D=left(dfrac{1}{2};infty ight).[/latex] W przeciwnym razie wysokość, do której nalano wodę nie byłaby liczbą dodatnią, co nie miałoby sensu. Akwarium ma zwykle kształt prostopadłościanu (bez górnej podstawy), zatem jego objętość to iloczyn długości, szerokości i wysokości. [latex]2xcdot x cdot (x-0,5)=112[ell]\ 2x^3-x^2-112=0[/latex] Otrzymaliśmy równanie wielomianowe stopnia trzeciego niewiadomej [latex]x[/latex]. Należy je rozwiązać. Wprowadźmy oznaczenie: [latex]W(x)=2x^3-x^2-112.[/latex] Zauważmy, że wszystkie współczynniki wielomianu [latex] W(x)[/latex] są liczbami całkowitymi. Możemy więc skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych (wymiernych) wielomianu o współczynnikach całkowitych, które mówi, że: Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego tego wielomianu. W naszym przypadku wyraz wolny jest równy [latex]-112[/latex]. Zauważmy, że w szczególności liczba [latex]4[/latex] dzieli [latex] -112[/latex] oraz [latex] W(4)=0.[/latex] Wobec tego zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian [latex]W(x)[/latex] jest podzielny przez dwumian [latex] x-4. [/latex] Dzielenie pisemne w załączniku. Otrzymujemy: [latex](x - 4)cdot (2x^2 + 7x + 28)=0\ x-4=0 vee 2x^2 + 7x + 28=0\ x=4 in D vee 2x^2 + 7x + 28=0[/latex] Jednym z rozwiązań równania jest [latex] x=4 [/latex]. Jest rozwiązaniem ponieważ w szczególności spełnia przyjęte wcześniej założenie, tzn. [latex]4in left(dfrac{1}{2};infty ight)=D.[/latex] Pozostaje rozwiązać równanie [latex]2x^2 + 7x + 28=0.[/latex] Wobec tego: [latex]2x^2 + 7x + 28=0\ a=2,b=7,c=28\ Delta=b^2-4ac\ Delta=7^2-4 cdot 2 cdot 28=49-224=(-175) extless 0[/latex] Równanie to jest sprzeczne (nie ma rozwiązań rzeczywistych), ponieważ wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego ("delty") jest ujemna. Z powyższego wnosimy, że jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest [latex]x=4.[/latex] Wobec tego wymiary akwarium są równe odpowiednio: [latex]2x=2cdot 4=8dm\ x=4dm\ x=4dm[/latex] Wysokość samego akwarium również jest równa [latex] 4dm[/latex], ponieważ tutaj chodzi o wysokość jako taką akwarium a nie o wysokość, do której nalano wodę. Odpowiedź: Wymiary akwarium to [latex]8dm,4dm,4dm.[/latex]
