a,b,c,d - kolejne wyrazy malejącego ciągu geometrycznego
b+c=24
a+d=36
z własności ciągu geometrycznego mamy:
b=a*q
c=a*q²
d=a*q³ gdzie 0
Liczby: a,b,c,d są kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego. Suma dwóch liczb środkowych jest równa 24, a suma dwóch liczb skrajnych jest równa 36. Wyznacz te liczby. a,b,c,d - kolejne liczby ciągu geometrycznego Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego an = a1*q( do potęgi (n-1) a = a1 b = a1*q c = a1*q² d = a1*q³ Z warunków zadania mamy: b + c = 24 a + d = 36 a1*q + a1*q² = 24 a1 + a1*q³ = 36 a1*(q + q²) = 24 a1 ( 1 + q³) = 36 a1 = 24 : (q + q²) 24:(q + q²) *(1 + q³) = 36 stosuje wzór skróconego mnożenia a³ + b³ = (a + b)(a² - ab +b²) + a1 = 24 : (q + q²) 24: [ q (1 + q)] *(1 + q)( 1- q +q²) = 36 a1 = 24 : (q + q²) 24/q*(1-q + q²) = 36 /*q a1 = 24 : (q + q²) 24(1 -q + q²) = 36q a1 = 24 : (q + q²) 24 -24q + 24q² -36q = 0 a1 = 24 : (q + q²) 24q² -60q +24 = 0 /:12 a1 = 24 : (q + q²) 2q² -5q + 2 = 0 a1 = 24 : (q + q²) Δ = (-5)² - 4*2*2 = 25 - 16 = 9 a1 = 24 : (q + q²) √Δ=√9 =3 a1 = 24 : (q + q²) q1 = (5 -3):2*2 = (2):4 = 1/2 lub a1 = 24 : (q + q²) q2 = (5 + 3): 2*2 = ( 8): 4 = 2 Wyznaczam teraz a1 a1 = 24 : [1/2 + (1/2)²] = 24 : (2/4 + 1/4) =24 :(3/4) = 24*(4/3)=32 q = 1/2 lub a1 = 24 : [2 + (2)²] = 24 : (2 + 4) =24 : 6 = 4 q = 2 druga wersja rozwiazania nie może być rozwiazaniem, bo z treści zadania wynk,że jest to ciag malejący , więc ciąg jest malejacy dla q= 1/2 Obliczam wyrazy ciagu geometrycznego 1) wersja rozwiazania a1 =32, q = 1/2 a = a1 = 32 b = a1*q = 32*1/2 = 16 c = a1*q² = 32 *(1/2)² = 32*1/4 = 8 d = a1*q³ = 32*(1/2)³ = 32*1/8 = 4 Odp. a = 32, b= 16, c= 8, d = 4
