szukamy zbioru rozwiązań nierówności:
x² − 3x + 2 < 0
po wyliczeniu delty i pierwiastków rozłożymy nierówność kwadratową na czynniki i będziemy mieć:
(x-1)(x-2)<0
ramiona paraboli są skierowane do góry i przechodzi ona przez 1 i przez 2... tak więć x∈(1,2)
zastanawiamy się więc jakie "a" należy wybrać, żeby w zbiorze rozwiązań "ax² − (3a+ 1)x + 3 > 0" był zawarty zbiór x∈(1,2)
bez względu na wszystko nasza druga funkcja przechodzi przez punkt (0,3) gdyż c=3... teraz rozłóżmy sobie to zadanie na dwa przypadki:
1⁰ "a" jest ujemne
2⁰ "a" jest dodatnie
gdy a jest ujemne to zbiorem rozwiązań będzie wszystko pomiędzy przecięciami.
Szukamy x₁, x₂ takich by b=-(3a+1) oraz c=3:
x₁+x₂=-b/a
x₁*x₂=c/a
x₁+x₂=(3a+1)/a
x₁*x₂=3/a
a=3/x₁*x₂ --> x₁ i x₂ mają różne znaki
x₁+x₂=(3a+1)/a
a(x₁+x₂)=3a+1
a(x₁+x₂)-3a=1
a(x₁+x₂-3)=1
a=1/(x₁+x₂-3)
mamy trzy niewiadome więc potrzebujemy jeszcze przynajmniej jednego równania... oto one:
Δ=b²-4ac
Δ=(-(3a+ 1))² - 4a*3
Δ=9a²+6a+1-12a
Δ=9a²-6a+1
Δ=(3a-1)²
√Δ=|3a-1|
jako, że "a" jest ujemne to wartość w wartości bezwzględnej też jest ujemna, wiec:
√Δ=-(3a-1)=-3a+1
x₁=(-b-√Δ)/2a
x₁=[(3a+1)-(-3a+1)]/2a
x₁=6a/2a=3
x₂=(-b+√Δ)/2a
x₂=[(3a+1)+(-3a+1)]/2a
x₂=2/2a=1/a
wstawiamy to do któregoś z poprzednich równań:
a=3/x₁*x₂
a=3/(1/a)*3
a=1/(1/a) --> a=a - niezbyt to pomogło, ale wiemy, że chwilowo jest ok
Podobnie się stanie dla podstawienia pod równanie "a=1/(x₁+x₂-3)". Co z tym fantem zrobić? Zastanówmy się:
punkt c(3,0) jest niezależny od a... tak samo stało się z x₁ który jest punktem (0,3) - ten też jest kompletnie niezależny od a (więc występuje zawsze!) skoro x₂=1/a to jest ujemne. Każda! parabola przechodząca przez te dwa punkty (3,0) oraz (0,3) gdzie x₂<0 zawiera w sobie przedział x∈(1,2).
Tak więc z tego punktu wiemy, że a∈(-∞,0)
Teraz zajmijmy się a dodatnim:
2⁰ Tutaj problem robi się pozornie większy bo x₂ boże być mniejsze od x₁, ale też może być większe. "a" jest dodatnie więc ramiona mamy skierowane do góry - przedział od x₁ do x₂ więc nie należy do zbioru wartości.
tak czy siak prawdą absolutną będzie dla nas:
x₁=3
x₂=1/a --> x₂>0
a>0
b=-(3a+1)
c=3
należą punkty (0,3) oraz (3,0)
Zauważmy, że dla x₂ z zakresu od 0 do 2 w zbiorze wartości nie zawiera się cały przedział (1,2) - jak to pokazać? Jeśli x₂
