Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi 3 pierwiastek z 5 przez 5. oblicz iloczyn sinusów tych kątów. I sposób Na podstawie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (patrz załącznik) sinα = a/c sinβ = b/c sinα + sinβ = 3√5 / 5 a/c + b/c = 3√5 / 5 a + b / c = 3√5 / 5 (Podniesiemy tę równość stronami do kwadratu i skorzystamy z tw. Pitagorasa c² = a² + b²) (a + b / c)² = (3√5 / 5)² (a + b)² / c² = 9 * 5 / 25 a² + 2ab + b² / c² = ⁹/₅ a² + b² + 2ab / c² = ⁹/₅ c² + 2ab / c² = ⁹/₅ c² / c² + 2ab / c² = ⁹/₅ 1 + 2ab /c² = ⁹/₅ 2ab /c² = ⁹/₅ - 1 2ab /c² = ⁴/₅ /*½ ab /c² = ²/₅ a*b /c*c = ²/₅ a / c * b / c = ²/₅ sinα * sinβ = ²/₅ II sposób sinα + sinβ = 3√5 / 5 sinα + sin (90° - α) = 3√5 / 5 sinα + cosα = 3√5 / 5 (Podniesiemy tę równość stronami do kwadratu i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin²α + cos²α = 1) (sinα + cosα)² = (3√5 / 5)² sin²α + 2sinα*cosα + cos²α = 9*5 / 25 sin²α + cos²α + 2sinα*cosα = 9 / 5 1 + 2sinα*cosα = ⁹/₅ 2sinα*cosα = ⁹/₅ - 1 2sinα*cosα = ⁴/₅ /:2 sinα*cosα = ²/₅ sinα*cos(90° - β) = ²/₅ sinα*sinβ = ²/₅ odp. Iloczyn sinusów kątów ostrych wynosi ²/₅.
