Jeden z boków prostokąta a długość 1. Wyznacz długość drugiego boku tego prostokąta jeśli proste poprowadzone z przeciwległych wierzchołków prostopadłe do przekątnej dzielą ją a trzy równe części.

Oznaczmy wierzchołki jako ABCD, bok AD ma długość 1, szukamy długości x boku AB. Prosta poprowadzona z wierzchołka B prostopadła do przekątnej AC przecina ją w punkcie M oraz bok AD w punkcie N, natomiast prosta poprowadzona z wierzchołka D przecina przekątną AC w punkcie O. Z treści zadania wynika że odcinki AM MO i OC mają równą długość, dodatkowo trójkąty AMN i AOD są podobne, więc skoro |AM|=|MO| to także |AN|=|ND|. Stąd |AN|=½|AD|=½. Z tw. Pitagorasa mamy |AC|²=|AD|²+|CD|², czyli |AC|²=1+x². Zatem |AM|=⅓|AC|=⅓√(x²+1) Podobnie z tw. Pitagorasa obliczymy |BN|=√(x²+¼) Pole trójkąta ABN możemy obliczyć na dwa sposoby, otrzymujemy więc równanie: ½|AB|×|AN|=½|AM|×|BN| ½x=⅓√(x²+1)×√(x²+¼) ¼x²=(x²+1)×(x²+¼)/9 9x²=4x⁴+5x²+1 4x⁴-4x²+1=0 4(x²-½)²=0 x²=½ x=√2/2