Ciąg arytmetyczny to taki, którego wyraz poprzedni różni się od następnego o stałą wartość, zwaną różnicą r. Czyli w naszym wypadku: log(2^x-2) - log2 = log(2^x+10) - log(2^x-2) = r przy założeniu 2^x - 2 > 0 oraz 2^x + 10 > 0 (druga nierówność jest zawsze dodatnia). Różnica logarytmów jest logarytmem ilorazu: log[(2^x-2)/2] = log[(2^x+10) /(2^x-2)] Więc także wartości logarytmowane są sobie równe: (2^x-2)/2 = (2^x+10) /(2^x-2) Podstawiam: t = 2^x (t - 2) / 2 = (t + 10) / (t -2) (t - 2)² = 2(t + 10) t² - 4t + 4 - 2t - 20 = 0 t² - 6t - 16 = 0 Δ = 36 + 64 = 100 √Δ = 10 t₁=(6 - 10)/2 = -2 t₂=(6 + 10)/2 = 8 Ale 2^x > 0, więc t=2^x=8 2^x = 2³ x = 3 Oczywiście należy sprawdzić, czy jest spełnione: 2^x - 2 > 0 2³ - 2 = 6 > 0 Spr. log 6 - log 2 = log 3 log 18 - log 6 = log 3 Czyli wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej log3 Odp. x = 3
log(2^x-2) - log2 = log(2^x+10) - log(2^x-2) = r zasada: log[(2^x-2)/2] = log[(2^x+10) /(2^x-2)] więc: (2^x-2)/2 = (2^x+10) /(2^x-2) t = 2^x (t- 2) / 2 = (t+ 10) / (t-2) (t- 2)² = 2(t+ 10) t²- 4t+ 4- 2t- 20 = 0 t²- 6t- 16 = 0 Δ = 36+ 64 = 100 √Δ = 10 t₁=(6- 10)/2 = -2 t₂=(6+ 10)/2 = 8 Ale 2^x > 0, więc t=2^x=8 2^x = 2³ x = 3
