Aby pole trójkąta MNP było najmniejsze, punkty M,N,P powinny być środkami boków trójkąta ABC. Wymiary trójkąta MNP będą dokładnie 2 razy mniejsze od ABC, a więc jego pole będzie 4 razy mniejsze. Gdy odległości będą bliskie 0 lub bliskie długości a=10 cm, to pola trójkątów będą prawie identyczne. Można to oczywiście wykazać przy pomocy badania minimum funkcji pola w zależności od długości AM=BN=CP=x Pole ΔMNP jest różnicą pola ΔABC i 3 identycznych pól ΔAMP, ΔBMC i ΔCNP, których sumę pól można wyliczyć ze wzoru 3 * ½ x(a-x)sin60=3√3/4 x(a-x) P(ΔMNP) = 1/4 a²√3 - 3√3/4 x(a-x) Ponieważ pole ΔABC = 1/4 a²√3 = const, to P(MNP) będzie najmniejsze, gdy odjemnik 3√3/4 x(a-x) będzie największy, ten zaś będzie największy, gdy x(a-x) będzie największe. Badamy więc funkcję: y=x(a-x) Doprowadźmy ją do postaci kanonicznej, skąd łatwo odczytamy maksimum: y = -x² + ax = -(x-½a)² + ¼a² y jest największe, gdy -(x-½a)²=0, czyli dla x = ½a, co mieliśmy wykazać, a co łatwo było stwierdzić intuicyjnie.
