Zadanie 10. [latex]mathrm{a) w= frac{2}{x-6} }[/latex] W mianowniku nie może stać 0, bo nie wolno dzielić przez 0. Zatem sprawdzam dla jakich x, wyrażenie z mianownika będzie równe 0: x-6=0 x=6 Zatem ze zbioru liczb rzeczywistych musimy wyjąć 6. Dziedzina: x∈ R-{6} [latex]mathrm{b) w= frac{x-1}{2x+1} } [/latex] 2x+1=0 2x=-1 x=-[latex]mathrm{ frac{1}{2} }[/latex] Dziedzina: x∈ R - {-[latex]mathrm{ frac{1}{2} }[/latex]} [latex]mathrm{c) w= frac{1}{x+2}- frac{4}{x-3} }[/latex] x+2=0 ∧ x-3=0 x=-2 ∧ x=3 Dziedzina: x∈ R - {-2,3} Zadanie 11. a) [latex]mathrm{f(x)= frac{2}{x} }[/latex] Dziedzina: x ∈ R-{0} Zbiór wartości: y ∈ R - {0} Funkcja różnowartościowa. Brak miejsc zerowych. Funkcja malejąca. f(x)>0 dla x ∈ (0,+∞) f(x)<0 dla x∈ (-∞,0) b) [latex]mathrm{f(x)=- frac{2}{x} }[/latex] Dziedzina: x ∈ R - {0} Zbiór wartości: y ∈ R - {0} Funkcja różnowartościowa. Brak miejsc zerowych. Funkcja rosnąca. f(x)>0 dla x ∈ (-∞,0) f(x)<0 dla x ∈ (0,+∞) (Wykresy w załączniku) Zadanie 1. [latex]mathrm{a_n= (-1)^n cdot (n^2-2n) dla n geq 1} \ mathrm{n=3} \ mathrm{a_3=(-1)^3 cdot (3^2-2 cdot 3)=-1 cdot 3=-3} \ mathrm{-3 extless 2} \ mathrm{odp. C.}[/latex] Zadanie 2. [latex]mathrm{a_n= sqrt{n^2-1} dla n geq 1} \ mathrm{n=7} \ mathrm{a_7=sqrt{7^2-1}= sqrt{48}=4 sqrt{3} } \ mathrm{odp. C.}[/latex] Zadanie 3. [latex]mathrm{a_n=2-5n} \ mathrm{a_{n+1}=2-5(n+1)=2-5n-5=-3-5n } \ mathrm{( za n podstawilismy n+1 )} \ \ mathrm{r=a_{n+1}-a_n=-3-5n-(2-5n)=-3-5n-2+5n=-5} \ mathrm{odp. A.}[/latex]
RÓWNANIA WIELOMIANOWE [latex]10.\a)\\w = frac{2}{x-6}[/latex] Mianownik musi byc różny od zera (nie dzieli się przez zero) x - 6 ≠ 0 x ≠ 6 D = R {6} [latex]b)\\w = frac{x-1}{2x+1}[/latex] 2x + 1 ≠ 0 2x ≠ -1 /:2 x ≠ - 0,5 D = R {-0,5} [latex]c)\\w = frac{1}{x+2}-frac{4}{x-3}[/latex] x + 2 ≠ 0 x ≠ - 2 i x - 3 ≠ 0 x ≠ 3 D = R {-2; 3} 11. a) f(x) = 2/x - funkcja homograficzna (typu f(x) = a/x) Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola składająca się niejako z dwóch części. Aby narysować jej przybliżony wykres, wyznaczamy kilka punktów tej hiperboli: dla x = 2, y = 2/2 = 1 -> A₁ = (2,1) dla x = 1, y = 2/1 = 2 -> B₁ = (1,2) dla x = -2, y = 2/(-2) = -1 -> A₂ = (-2, -1) dla x = -1, y = 2/(-1) = -2 -> B₂ = (-1, -2) Na układzie współrzędnych rysujemy pierwszą część hiperboli przechodzącą przez punkty A₁,B₁, przyjmując osie układu za asymptoty.Rysujemy drugą część hiperboli przechodzącą przez punkty A₂,B₂, przyjmując osie układu za asymptoty. Dla większej dokładności wykresu należy zwiększyć ilość wyliczonych punktów. D = R {0} ZW = R {0} Wykresem tej funkcji jest hiperbola, która posiada dwie asymptoty: - prosta y = 0 - asymptota pozioma, - prosta x = 0 - asymptota pionowa Monotoniczność: - funkcja jest malejaca w przedziałach (-∞;0) i (0; +∞) b) f(x) = -2/x Wykres sporządzamy j.w. dla x = 2, y = -2/2 = -1 -> A₁ = (2, -1) dla x = 1, y = -2/1 = -2 -> B₁ = (1, -2) dla x = -2, y = -2/(-2) = 1 -> A₂ = (-2, 1) dla x = -1, y = -2/(-1) = 2 -> B₂ = (-1, 2) D = R {0} ZW = R {0} Wykresem tej funkcji jest hiperbola, która posiada dwie asymptoty: - prosta y = 0 - asymptota pozioma, - prosta x = 0 - asymptota pionowa Monotoniczność: - funkcja jest rosnąca w przedziałach (-∞; 0) i (0; ∞) CIĄGI [latex]1.\\a_{n} = (-1)^n}*(n^{2}-2n)\a_3 = ?[/latex] [latex]Za n podstawiamy 3:\\a_3 = (-1)^{3}*(3^{2}-2*3) = -1*(9-6) = -1*3 = -3\\-3 < 2\\Odp. C.[/latex] [latex]2.\\a_{n} = sqrt{n^{2}-1}}\\a_7 = sqrt{7^{2}-1} =sqrt{49-1} = sqrt{48} = sqrt{16*3} = =sqrt{16}*sqrt{3} =4sqrt{3}\\Odp. C.[/latex] [latex]3.\\a_{n} = 2-5n\\a_{n+1} = 2 - 5(n+1)= 2-5n-5 = -3-5n\\r = a_{n+1}-a_{n}=-3-5n-(2-5n) = -3-5n-2+5n=-5\\Odp. A.[/latex]
