2.2.19. Uzasadnij, że jeżeli liczba [latex]a[/latex] jest parzysta, zaś liczba [latex]b[/latex] jest nieparzysta, to liczba [latex](a+b)^3-7(a^3+b^3)[/latex] jest podzielna przez 6.

[latex](a+b)^3-7(a^3+b^3)=(a+b)^3-7(a+b)(a^2-ab+b^2)=\=(a+b)[(a+b)^2-7(a^2-ab+b^2)]=\=(a+b)[a^2+2ab+b^2-7a^2+7ab-7b^2]=\=(a+b)[-6a^2+9ab-7b^2]=-3(a+b)(2a^2-3ab+2b^2)[/latex] Pozostaje udowodnić podzielność [latex]2a^2-3ab+2b^2[/latex] przez 2. Każdy ze składników sumy zawiera co najmniej jedną liczbę parzystą w rozkładzie na czynniki pierwsze, czyli każdy składnik jest parzysty, więc ich suma również jest parzysta(czyli podzielna przez 2).

a³+3a²b+3ab²+b³-7a³-7b³=-6a³+3a²b+3ab²-6b³= -3a²(2a-b)+3b²(a-2b) a=2k  b=2n+1 k, n ∈C -3*4k²(4k-2n-1)+3(4n²+4n+1)(2k-4n-4)= -3*2*2k²(4k-2n-1)+3*2(k-2n-2)(4n²+4n+1)= 6*[-2k²(4k-2n-1)+(k-2n-2)(4n²+4n+1)]=6*m m∈C