Prawidłowo powinno brzmieć: W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 wpisano prostokąt tak , że jeden bok zawiera się w przeciwprostokątnej, a pozostałe 2 wierzchołki należą do ramion trójkąta. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu? Mowa o trójkącie prostokątnym równoramiennym o bokach: 6, 6, 6√2 (co wyliczyć można z Pitagorasa) Prostokąt po wpisaniu w trójkąt dzieli go na 3 mniejsze, przy czym 2 z nich są przystające, prostokątne i także równoramienne - wynika to z faktu przylegania kątów ostrych 45⁰. Jeśli oznaczymy przez x bok prostokąta, który nie leży na przeciwprostokątnej, to drugi bok będzie miał długość: 6√2 - 2x Więc pole prostokąta będzie funkcją x: P = x(6√2 - 2x) = 6x√2 - 2x² Po zamianie funkcji do postaci kanonicznej, możemy zbadać, kiedy P będzie największe: P= -2(x - 1,5√2)² + 9, bo po wymnożeniu będzie: P = -2(x² - 3√2 + 2,25*2) + 9 = -2x² + 6x√2 - 9 + 9 = 6x√2 - 2x² Jak widać, skoro P jest sumą wartości dodatniej 9 oraz kwadratu wyrażenia pomnożonego przez liczbę ujemną (-2), więc P będzie największe, jeśli to wyrażenie będzie zerem, bo w każdym innym wypadku pomniejszy pole. Wykres funkcji P(x) jest parabolą z "wąsami" w dół i maksimum w punkcie (1,5√2, 9) Tak więc musi być: x - 1,5√2 = 0 x = 1,5√2 Pole dla wartości tej będzie wynosić 9 (patrz postać kanoniczna). Sprawdzenie: x(6√2 - 2x) = 1,5√2(6√2 - 2*1,5√2) = 1,5√2 * 3√2 = 9 Odp. Największe pole prostokąta będzie dla prostokąta o wymiarach 1,5√2 i 3√2
