co do a) i b). Zauważ, że 5^2 = 25, natomimast 25 * 5 = 125. 5^3 ma na końcu 25, więc posługując się 25 * 5 = 125, 5^4 również ma na końcu 25. To się tak powtarza, że 5 do każdej wyższej potęgi ma na końcu 25 czyli 5^7 i 5^8 mają na końcu 25 czyli 5^8-1 oraz 5^7-1 mają na końcu 24 A ponieważ 24 jest podzielne na 4, to a) i b) są prawdą Co do c) i d) ciężej posłużyć się taką retoryką, więc zrobię to jak Paweł uczył :D [latex]5 equiv 1 pmod 4 qquad /(...)^7 \ \ 5^7 equiv 1 pmod 4 qquad iff qquad 5^7-1 equiv 0 pmod 4 lacktriangle. \ \ hbox{A podnoszac do potegi 8:} \ \ 5^8 equiv 1 pmod 4 qquad iff qquad 5^8-1 equiv 0 pmod 4[/latex] [latex]3 equiv -1 pmod 4 qquad /(...)^7 \ \ 3^7 equiv -1 pmod 4 qquad iff qquad 3^7-1 equiv -2 pmod 4[/latex] Co pokazuje że c) jest nieprawdą. Gdy podniesiemy do potęgi 8: [latex]3^8 equiv 1 pmod 4 qquad iff qquad 3^8-1 equiv 0 pmod 4 [/latex] d) jest prawdą. W d) możemy sie jeszcze posłużyć następującą retoryką: [latex]3^8-1=(3^4)^2-1^2=(3^4-1)(3^4+1)=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)=\ \ = 8 cdot 10 cdot 82[/latex] Ponieważ 8 jest podzielne na 4 - jest to prawda.
a) 5⁸-1=(5⁴-1)(5⁴+1)=(5²-1)(5²+1)(5⁴+1)=24*(5²+1)(5⁴+1)= 4*6*(5²+1)(5⁴+1) tak b) 5⁷-1=(5-1)(5⁶+5⁵+5⁴+5³+5²+5+1)=4*(5⁶+5⁵+5⁴+5³+5²+5+1) tak c) 3⁷-1=(3-1)*(3⁶+3⁵+3⁴+3³+3²+3+1)=2*[6(2k+1)+1] nie Suma szesciu liczb nieparzystych jest parzysta, a 6m+1 jest nieparzysta, zatem 3⁷-1 jest podzielne przez 2 i nie jest podzielne przez 4. d) 3⁸-1=(3⁴-1)(3⁴+1)=(3²-1)(3²+1)(3⁴+1)=8*(3²+1)(3⁴+1)= 4*2*(3²+1)(3⁴+1) tak
