Tak sformułowane zadanie jest bardzo dalekie od rzeczywistości, bo przy takim spadaniu wpływ oporów atmosfery ma dużo większe znaczenie niż wpływ zmiany siły grawitacji wraz z wysokością. Niech już jednak będzie, sprawdzimy tylko ten wpływ zmiany grawitacji. Wyliczenie czasu takiego spadania wiąże się z rozwiązaniem równania różniczkowego: [latex] frac{d^2x}{dt^2} + frac{GM}{x^2} =0[/latex] Rozwiązuje się je niestety numerycznie, choćby taką najbardziej prymitywną (ale skuteczną) metodą jak w załączonym arkuszu kalkulacyjnym. Jak widać czas spadania przy uwzględnieniu zmian grawitacji to ok. 340.0 s Natomiast czas spadania przy założeniu stałego g = 9.81 m/s² to ok. 319.3 s Ten drugi czas można też oczywiście wyliczyć ściśle analitycznie jako: t = √(2·h/g) = √(2·500000/9.81) = 319.3 s Można też wstawić takie g, jakie występuje na 500 km i wtedy: t = √(2·h/g) = √(2·500000/8.44) = 344.2 s Jak widać rzeczywisty czas plasuje się gdzieś pomiędzy tymi wyliczonymi wartościami. Załączyłem też obrazek z porównaniem wykresów spadania z uwzględnieniem i bez uwzględnienia zmiany grawitacji z wysokością.
Dane: Obliczyć h = 500 km = 500000 m t = ? g = 10[latex] frac{m}{s^2} [/latex] [latex]h = frac{gt^2}{2} |*2 \\ 2h= frac{gt^2}{2}*2 \\ 2h = gt^2 |:g \\ frac{2h}{g}= frac{gt^2}{g} \\ t^2 = frac{2h}{g} \\ t = sqrt{ frac{2h}{g}[/latex] [latex]t = sqrt{ frac{2*500000 m}{10 frac{m}{s^2} } } \\ t = sqrt{100000 s^{2}} \\ t = 316,23s \\ t approx 5~min~16~s[/latex]
