Udowodnij, że okrąg można wpisać w trapez równoramienny bądź prostokątny tylko wtedy gdy a+b=c+d.

Jest tak dlatego, że okrąg ten musi stykać się z wszystkimi bokami. Np. gdy bok a=15cm, c=30, b=5cm, d=5cm, to okrąg nie może zostać wpisany w taki trapez. Jest to to zasada dot. wpisywania okręgów w czworokąty.

Jeżeli okrąg jest wpisany w trapez, to jest on styczny do boków trapezu {czyli promień jest prostopadły do danego boku w punkcie styczności} wysokość trapezu h będzie równa średnicy okręgu (średnica to suma dwóch promieni}, czyli h = 2r Łącząc środek okręgu z wierzchołkami trapezu, otrzymamy cztery trójkąty: pierwszy trójkąt: podstawa dolna trapezu a i wysokość r, drugi trójkąt: podstawa górna trapezu h i wysokość r, trzeci trójkąt: ramię trapezu c i wysokość r, czwarty trójkąt: ramię trapezu d i wysokość r {wysokości są o długości promienia okręgu r, bo promienie są prostopadłe do odpowiednich boków trapezu} Obliczamy pola tych trójkątów: pole pierwsze: ½ar pole drugie: ½br pole trzecie: ½cr pole czwarte: ½dr Pole trapezu P = ½(a+b)*(2r) i jest ono równe sumie pól czterech trójkątów: ½ar + ½br+ ½cr+½dr = ½r(a+b+c+d) Mamy: ½(a+b)*(2r) = ½r(a+b+c+d) {obie stron dzielimy przez r} a+b = ½(a+b+c+d) /*2 2a+2b=a+b+c+d stąd a+b = c+d co należało udowodnić. Odp. Okrąg można wpisać w trapez równoramienny, bądź prostokątny tylko wtedy, gdy a+b = c+d.