Wyznacz środek masy ćwiartki łuku.

Zapewne chodzi o ćwiartkę okręgu [latex]x_c= frac{ intlimits^ frac{pi}{2} _0 {r cosphicdot r} , dphi }{intlimits^ frac{pi}{2} _0 {r} , dphi } = frac{r^2(sinfrac{pi}{2}-sin0)}{frac{pi r}{2}} = frac{ 2r(1-0)}{pi} = frac{2r}{pi} \ y_c= frac{ intlimits^ frac{pi}{2} _0{r sinphicdot r} , dphi }{intlimits^ frac{pi}{2} _0 {r} , dphi } = frac{r^2(-cosfrac{pi}{2}+cos0)}{frac{pi r}{2}} = frac{ 2r(0+1)}{pi} = frac{2r}{pi}[/latex]

Do wyboru druga metoda ;)  z I twierdzenia Pappusa-Guldina. Pole powierzchni figury powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe iloczynowi długości linii (L) i długości okręgu (2πx) opisanego przez środek masy przy tym obrocie. P = L·2·π·x W naszym przypadku powstałą powierzchnią jest oczywiście półsfera o polu P = 2·π·r² , a długość linii to długość ćwiartki okręgu L = π·r/2 2·π·r² = (π·r/2)·2·π·x x = 2·r/π ≈ 0.64·r Z symetrii wynika, że również  y = 2·r/π ≈ 0.64·r Odległość od środka krzywizny łuku: √(x² + y²) = √(x² + y²) = 2·√2· r/π ≈ 0.90·r