Znajdź wyraz (x³+ 1/x)¹⁵ (x≠0), który zawiera x⁵ Rozwinięcie dwumianu do potęgi n ma następujące iloczyny potęg (pomijam na razie współczynniki, które oznaczam jako k₀, k₁, ..., k(n-1), k(n)) (a + b)^n = k₀ a^n*b⁰ + k₁ a^(n-1)b¹ + k₂ a^(n-2) b² + ... + k(n-1)ab^(n-1) + k(n)a⁰b^n oczywiście ^ oznacza potęgowanie. Jak widać, wykładnik potęgi pierwszego wyrazu maleje od n do zera, a drugi rośnie od 0 do n, tak że każdy wyraz rozwinięcia ma sumę wykładników stałą i wynoszącą n. W naszym zadaniu suma też będzie stała, ale z uwagi, że podstawy dwumianu są jednakowe, nie będzie tego wprost widać, bo potęgi mnożąc się przez siebie dodają do siebie wykładniki. Oznaczmy przez n numer wyrazu rozwinięcia licząc od n=0 Nasz dwumian ma postać: (x³ + x⁻¹)¹⁵ dla n=0 mamy (x³)¹⁵ *(x⁻¹)⁰ = x⁴⁵ dla n=1 mamy (x³)¹⁴ *(x⁻¹)¹ = x⁴¹ Szukamy dla jakiego n otrzymamy x⁵. Należy więc napisać równanie na wykładniki potęg: 3(15-n) + (-1)n = 5 45 -3n -n = 5 4n = 40 n = 10 Tak więc potęgę 5 będzie miał dziesiąty (licząc od zera), czyli 11. (licząc od 1) wyraz ciągu, bo pierwszy wyraz będzie miał postać x⁴⁵⁻³⁰, a drugi x⁻¹⁰, razem dając x¹⁵⁻¹⁰=x⁵. Współczynniki można wziąć z tzw. trójkąta Pascala: 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2, np. (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b² 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 itd. Możemy rozwijać dalej trójkąt (zauważmy, że suma dwóch współczynników w linii wyższej jest współczynnikiem w następnej linii), ale możemy też skorzystać ze wzoru na współczynniki wyliczone z dwumianu Newtona n po k, (n) n! ( )= ---------- , gdzie n jest numerem wiersza, a k numerem kolumny (licząc (k) (n-k)! k! od zera), a więc szukany współczynnik k₁₀ przy potędze x⁵, będzie miał wzór 15 po 10, czyli 15!/[(15-10)!10!] = 11*12*13*14*15/(1*2*3*4*5) = 3003 czyli szukany wyraz będzie miał postać 3003x⁵ i jest to 11 wyraz ciągu licząc od 1 i rozwijając go w sposób regularny, czyli jak opisano wyżej. Zobacz opis z ładnymi rysunkami: http://pl.wikipedia.org/wiki/Trójkąt_Pascala Myślę, że pomogłem i mam nadzieję, że bez pomyłki i "skrótów myślowych".
