Krawedz czworoscianu foremnego wynosi 4cm. Oblicz V i Pc Dzięi :*

Krawedz czworoscianu foremnego wynosi 4cm. Oblicz V i Pc a=4cm h-wysokość ściany bocznej h=a*(pierwiastek z 3)/2=4*(pierwiastek z 3)/2=2*(pierwiastek z 3) z Pitagorasa [(2/3)*h]^2+H^2=a^2 H - wysokość prostopadłościanu [(2/3)*2*(pierwiastek z 3)]^2+H^2=4^2 (16/3)+H^2=16 /*3 16+3H^2=48 /-16 3H^2=32 /:3 H^2=32/3 H= pierwiastek z (32/3)=4*(pierwiastek z 2)/(pierwiastek z 3) H=4*(pierwiastek z 6)/3 V=Pp*H Pp=a^2*(pierwiastek z 3)/4=4^2*(pierwiastek z 3)/4 Pp=16*(pierwiastek z 3)/4=4*(pierwiastek z 3) V=4*(pierwiastek z 3)*4*(pierwiastek z 6)/3 V=16*(pierwiastek z 18)/3 gdzie: pierwiastek z 18=3*(pierwiastek z 2) po podstawieniu i skróceniu: V=16*(pierwiastek z 2) Pc=4*Pp=4*4*(pierwiastek z 3)=16*(pierwiastek z 3)

Czworościan foremny to bryła zbudowana z 4 trójkątów równobocznych. Jest to zarazem ostrosłup prawidłowy o podstawie trójkąta. P(c) = 4P = 4 *½ ah = 2ah h = a√3/2 (z tw. Pitagorasa) P(c) = 2ah = 2a²√3/2 = a²√3 = 4²√3 = 16√3 cm² P = ½ah = ½a*a√3/2=¼a²√3 V = ⅓ PH, H=wysokość ostrosłupa Wysokość H leży w płaszczyźnie przekroju pionowego przechodzącego przez krawędź boczną wysokości podstawy i wysokość ściany bocznej. Trójkąt prostokatny, zktórego wyliczymy H ma boki: a, H i ⅔h. Imć Pitagoras twierdził, że a² = H² + (⅔h)², więc H = √(a² - 4/9h²) = √[(a² - 4/9a²(√3/2)²] = √(⅔a²) = ⅓a√6 Ostatecznie: V = ⅓ PH = ⅓ * ¼a²√3 * ⅓a√6 = ¹/₃₆ √18 a³ = ¹/₁₂√2a³ =¹/₁₂√2*4³ = 16√2/3 cm³