a₇ - a₃ = 8 a₂ * a₇ = 75 a₂=a₁+r a₃=a₁+2r a₇=a₁+6r a₇ - a₃ = 8 a₂ * a₇ = 75 a₁+6r - (a₁+2r) = 8 (a₁+r) * (a₁+6r) = 75 a₁+6r - a₁-2r = 8 (a₁+r) * (a₁+6r) = 75 4r=8 /:4 r=2 (a₁+r) * (a₁+6r) = 75 (a₁+2) * (a₁+6*2) = 75 (a₁+2) * (a₁+12) = 75 a₁²+12a₁+2a₁+24-75=0 a₁²+14a₁-51=0 Δ=14²-4*(-51)=196+204=400 √Δ=20 a₁=(-14-20)/2=-34/2=-17 a₁=(-14+20)/2=6/2=3 Odp a₁=-17 lub a₁=3 oraz r=2
a7 - a3 = 8 a2 * (razy) a7 = 75 Oblicz pierwszy wyraz i różnice ciągu Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego a(n) = a1 + (n-1)*r ( nauczyć się na pamięć tego wzoru !!!!!) a7 = a1 + (7-1)*r a7 = a1 + 6r a3 = a1 + 2r a2 = a1 +r Teraz ułożyć należy układ 2 równań z 2 niewiadomymi, wstawiając w miejsce a7, a3, a2 wzory: a7 = a1 + 6r a3 = a1 + 2r a2 = a1 +r a7 - a3 = 8 a2 * (razy) a7 = 75 * oznacza mnożenie a1 + 6r -( a1 +2r) = 8 (a1 +r)*(a1 + 6r) = 75 a1 + 6r -a1 -2r = 8 ( a1 redukuje się) (a1 +r)*(a1 + 6r) = 75 4r = 8 (a1 +r)*(a1 + 6r) = 75 r = 8 : 4 = 2 (a1 +2)*( a1 +6*2) = 75 r = 2 (a1 +2)*(a1 +12) = 75 r = 2 (a1)²+12a1 +2a1 +24 = 75 r =2 (a1)² +14a1+24 - 75 = 0 r = 2 (a1)² + 14a1 - 51 = 0 z drugiego równania obliczam deltę i 2 pierwistki Δ = (14)² - 4*1*(-51) = 106 + 204 = 400 √Δ = √400 = 20 a1 = (-14 - 20) : 2*1 = (-34): 2 = -17 lub a1 = (-14 +20) : 2*1 = 6 :2 = 3 r = 2 a1 = -17 lub r= 2 a1 = 3
a7 - a3 = 8 a2 * (razy) a7 = 75 Skoro różnica między wyrazami jest określona, to podejrzewamy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym o różnicy r, tzn. taki, że a1 = pierwszy wyraz a2 = a1 + r (drugi wyraz) a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a1 + 3r ...... a(n) = a1 + (n-1)r Dlatego: a7 - a3 = a1 + 6r - (a1 + 2r) = 4r = 8, więc r = 8/4 =2 a2 * a7 = (a1 + r)(a1 + 6r) = a1² + ra1 + 6ra1 + 6r² = a1² + (6r+r)a1 + 6r²= a1² + 14a1 + 24 Oznaczmy A = a1 A² + 14A +24 = 75 A² + 14A - 51 = 0 Δ= 196 + 4*51 = 400 A₁ = (-14 - 20) / 2 = -17 A₂ = (-14 + 20) / 2 = 3 Tak więc a1 = -17 lub 3 r = 2 Sprawdzenie: Dla a1 = -17, a7 = -17+6*2 = -5, a3=-17+2*2=-13, a7-a3=-5-(-13)=8 a2 = -17+2 = -15, a2*a7 = -15 (-5) = 75 Dla a1 = 3, a7 = 3+6*2 = 15, a3=3+2*2=7, a7-a3=15-7=8 a2 = 3+2 = 5, a2*a7 = 5 * 15 = 75 Odp. a1=-17 lub a1=3 oraz r=2
