Oblicz granicę ciągu o wzorze ogólnym an = [latex] sqrt{ n^{2}+n} -n [/latex] ? Dochodzę do momentu [latex] lim_{n o infty} frac{n}{n+ sqrt[]{1+ frac{1}{n} }+n } [/latex]. Czy w tym momencie mogę określić ze [latex] frac{1}{n} [/latex] gdzie n zmierza

Tak, wynik będzie ok, granica wynosi [latex] frac{1}{2} [/latex].

[latex] lim_{n o infty}left(sqrt{n^2+n}-n ight)= lim_{n o infty}left(dfrac{left(sqrt{n^2+n}-n ight)left(sqrt{n^2+n}+n ight)}{sqrt{n^2+n}+n} ight)=\= lim_{n o infty}left(dfrac{n}{sqrt{n^2+n}+n} ight)= lim_{n o infty} left(dfrac{n}{nsqrt{1+frac{1}{n}}+n} ight)=\= lim_{n o infty}left(dfrac{n}{nleft(sqrt{1+frac{1}{n}}+1 ight)} ight)= lim_{n o infty}left(dfrac{1}{sqrt{1+frac{1}{n}}+1} ight)=\=left[dfrac{1}{sqrt{1}+1} ight]=dfrac{1}{2}[/latex]